Le lemme du ping-pong est un résultat que l’on attribue à Félix Klein (XIXème siècle), et qui permet de mettre en évidence de nombreux groupes libres. Nous allons l’illustrer ici dans le groupe des homéomorphismes du cercle.

On s’intéresse au problème suivant : Dans le groupe \mathbb{S}L_2(\mathbb{Z}) (matrices 2×2 à coefficients entiers et de déterminant 1), que peut-on dire sur le groupe G engendré par A := \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) et B := \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right) ? A-t-il un nombre infini d’éléments ?  Est-il abélien ? Est-il isomorphe à un groupe connu ? En fait, on se demande ce qu’on obtient lorsque l’on fait tous les produits et inverses possibles à partir de A et B… Pour répondre à cette question, on va d’abord essayer de comprendre ce qu’il se passe dans ce groupe en regardant les produits de matrices. Ensuite, on regardera l’action de G sur le cercle, ce qui nous permettra de décrire entièrement G grâce au lemme du ping-pong.

  • Premières remarques sur le groupe G

Remarquons tout d’abord que G est infini : Pour tout n dans \mathbb{Z}, on a A^n := \left( \begin{array}{cc} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{array} \right) , et donc le groupe H engendré par A (H:=\{ A^n | n \in \mathbb{Z} \}) est infini. Comme il est inclus dans notre groupe G, on voit que G est infini.

De même on voit que le groupe K:=\{ B^n | n \in \mathbb{Z} \} = \{ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2n & 1 \end{array} \right) | n \in \mathbb{Z} \} est un sous-groupe infini de G.

Il reste donc à voir quelles sont les matrices obtenues comme produit d’éléments de H et de K, c’est à dire les produits de A et de B, du type A^2B^{-3}AB^4 A^{-5} par exemple. Comment savoir si cette matrice est égale à B^{-1}A^{72}B^3 ? Ou à une autre matrice du groupe G ?

On appelle mot un tel produit de A et de B. Évidemment, AA et A² représentent le même mot ! On appelle forme réduite du mot la représentation avec le moins de lettres possible, c’est à dire où l’on a fait toutes les simplifications que l’ont pouvait faire : par exemple, A² est la forme réduite de AA, A^2B^{-1}A est la forme réduite de AB^{-2}AA^{-1}B^2ABB^{-2}A, etc.

On cherche donc à savoir si dans notre groupe G engendré par A et B il existe deux mots u et v ayant des formes réduites distinctes, mais désignant le même élément du groupe G, c’est à dire vérifiant u=v (on veut savoir si l’on a des relations du type A^2B^{-3}A=B^{-1}A^4B^3 ou autre…). Par exemple, si G était commutatif (mais on peut vérifier facilement que ce n’est pas le cas), on aurait la relation AB=BA.

Si il n’y a aucune relation de ce type dans notre groupe G, ce qui revient à dire que le seul mot réduit qui soit égal à l’élément neutre est le mot vide, on dira que G est un groupe libre. Mais ce n’est à priori pas facile à savoir, puisqu’on ne peut pas comparer deux à deux tous les mots que l’on peut fabriquer à partir des lettres A et B !

Pour résoudre notre problème, on va faire agir G sur le cercle. En étudiant les orbites des points sous l’action de H et de K et en utilisant le Lemme du ping-pong, on pourra ainsi montrer que G est en fait un groupe libre !

  • Action de \mathbb{S}L_2(\mathbb{Z}) sur le cercle

\mathbb{S}L_2(\mathbb{Z}) agit naturellement sur \mathbb{R}^2 de la manière suivante : à chaque matrice M:= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) et à chaque point du plan \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) on associe le point \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) * \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ax+by \\ cx+dy \end{array} \right) . Comme la matrice M correspond à une application linéaire, l’image d’une droite vectorielle par notre action est une droite vectorielle. On peut donc considérer l’action sur l’ensemble des droites vectorielles de \mathbb{R}^2 (c’est à dire la droite projective P\mathbb{R}^1), comme sur le dessin ci-dessous.

action-cercle

Ceci revient à regarder l’action de \mathbb{S}L_2(\mathbb{Z}) sur le « demi-cercle » de la figure de droite, où l’on identifie les deux points bleus, de telle sorte que chaque droite vectorielle intersecte ce « demi-cercle » en un unique point. Identifier ces deux points bleus revient les recoller l’un sur l’autre : l’ensemble des droites vectorielles est en fait homéomorphe à un cercle.

Ainsi on a une action de \mathbb{S}L_2(\mathbb{Z}) sur le cercle, qui nous permet de voir ce groupe comme un sous-groupe des homéomorphismes du cercle.

  • Étude des orbites

Cherchons maintenant l’orbite du point z:= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) par l’action de la matrice A := \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) sur le cercle. Cette orbite correspond par définition à l’ensemble \{ A^n z, n \in \mathbb{Z} \}.

On a \left( \begin{array}{cc} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{array} \right) . \left( \begin{array}{c} x \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x+2n \\ 1 \end{array} \right). Ainsi, dans \mathbb{R}^2, regarder l’action de A sur les points de la droite rouge du dessin ci-dessous revient à faire une translation de vecteur (2,0). On peut ensuite « projeter » le point de l’orbite sur le point correspondant sur le cercle (puisque chaque point de notre cercle représente une droite).

orbite

Cette technique nous permet de voir les orbites de tous les points du cercle sauf le point bleu, puisque la drorbite2oite représentée par le point bleu est parallèle à la droite rouge. On traite donc ce cas à part, et on s’aperçoit qu’il est fixe par A : A.\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right). Son orbite est donc réduite à lui-même.

On remarque par ailleurs que lorsque n tend vers l’infini (positivement ou négativement), toutes les orbites se rapprochent de ce point.

On peut faire de même avec la droite verticale passant par (0,1) pour trouver les orbites des points du cercle sous l’action de B (cf figure de droite). C’est alors le point (1,0) qui est fixe.

  • Lemme du ping-pong

On connait maintenant l’action de H (le groupe engendré par A) et K (engendré par B) sur le cercle. Que peut-on en déduire sur G=<A,B> ? Grâce au lemme du ping-pong, on va pouvoir montrer que G est un groupe libre.

Lemme du ping-pong :

Soit G un groupe, et soient H et K deux sous-groupes non triviaux de G, tels que H ou K ait au moins 3 éléments. On suppose que G agit sur un ensemble E ayant deux parties non vides X et Y telles que :

– X et Y sont d’intersection vide.

– Pour tout h dans H\{e}, pour tout y dans Y, h.y \in X.

– Pour tout k dans K\{e}, pour tout x dans X, k.x \in Y.

Alors H et K sont en somme libre : en particulier, si H et K sont isomorphes à \mathbb{Z}, alors le sous-groupe qu’ils engendrent est un groupe libre à deux générateurs.

pong

Démonstration :

On veut montrer que tout mot écrit à partir d’éléments de H et de K (et dont la forme réduite n’est pas e) est différent de l’identité.

Soit donc m un mot construit en multipliant des éléments de K et/ou de H. Dans la suite, h_i désigne un élément de H\{e}, et k_i un élément de K\{e}. Quitte à échanger H et K, on peut supposer que H a au moins 3 éléments. Il y a 4 cas possibles :

1°) m est de la forme m=h_1k_1h_2k_2...h_n :

Par l’absurde, on suppose m=e, d’où mY=Y.

Par ailleurs, on a : h_nY \subset X, donc k_{n-1}h_nY \subset k_{n-1}X \subset Y …etc jusqu’à k_1h_2k_2...h_nk_n Y = mY = Y \subset X, ce qui est impossible car X et Y sont disjointes. Finalement, m \ne e.

2°) m est de la forme m=k_1h_2k_2...h_nk_n :

Soit h dans H tel que h \ne e. Alors hmh^{-1} est de type 1, donc hmh^{-1} \ne e, donc m \ne e.

3°) m est de la forme m=h_1k_1h_2k_2...h_nk_n.

Même chose que pour le cas 2, avec h \ne e, h \ne h_1^{-1} (possible, car H a au moins 3 éléments).

4°) m est de la forme m=k_1h_2k_2...h_n.

Même chose avec h \ne h_n^{-1}, h \ne e.

On a donc montré que si u=v, alors u et v ont la même forme réduite, c’est à dire que H et K sont en somme libre.

Remarque : Le lemme du ping-pong est aussi appelé lemme des Grippe-sous, en raison de sa généralisation à la somme amalgamée d’un nombre quelconque fini de groupes : on a alors n sous-groupes, H_1, ..., H_n, et n parties de E, X_1, ..., X_n. Chaque groupe H_k doit envoyer toutes les parties X_i pour i \ne k dans X_k. On comprend alors l’appellation « lemme des grippe-sous » : si chaque élément de E représente une pièce d’or, chaque sous-groupe est alors un grippe-sou qui cherche à mettre toutes les pièces « chez lui », c’est à dire dans la partie de E qui lui correspond !

  • Conclusion : retour aux homéomorphismes du cercle

Dans notre cas, l’ensemble E est le cercle \mathbb{R}P^1. On cherche donc deux sous-parties XpingXY et Y de ce cercle telle que X soit envoyée dans Y par H, et Y soit envoyée dans X par K.
Reprenons notre dessin : on choisit pour X l’ensemble des points du cercle dont les coordonnées dans le plan sont (u,v), avec |u|<|v| (en orange), et pour Y l’ensemble des points du cercle dont les coordonnées dans le plan sont (u,v), avec |u|>|v| (en violet). Avec l’étude des orbites que nous avons effectuée plus haut, on voit que ces ensembles conviennent. On peut donc appliquer le lemme du ping-pong, qui assure que le groupe engendré par A et B est libre !

En particulier, on a construit un sous-groupe des homéomorphismes du cercle qui est isomorphe au groupe libre à deux générateurs.

Publicités