La propriété d’équirépartition pour les rotations irrationnelles

équirépartition

Itérés d’un point \bf z_0 sous l’action d’une rotation irrationnelle d’angle égal au nombre d’or

A l’origine de l’émergence des systèmes dynamiques en tant que nouvelle branche des mathématiques, on trouve notamment des problèmes issus de la mécanique céleste. Certains d’entre eux, comme la question de la stabilité du système planétaire, se sont révélés d’une trop grande complexité pour qu’on puisse alors espérer aboutir à une compréhension fine du comportement qualitatif en temps grand des systèmes en question. Plus simples que ces derniers mais recelant néanmoins une dynamique riche, les homéomorphismes (bijections bicontinues) du cercle font figure de prototype dans l’étude des systèmes dynamiques.

Parmi ceux-ci, les rotations occupent une place importante, puisqu’à tout homéomorphisme du cercle f peut être associé un nombre de rotation \rho(f) (cf. article correspondant), et que toute la dynamique de la rotation d’angle \rho(f) se retrouve dans celle de f (cela se formalise par la notion de facteur).

Mais décrivons avant tout l’objet qu’on considère ici : la représentation la plus intuitive que nous ayons du cercle est son plongement dans \mathbb{R}^2, qui correspond à l’ensemble \mathbb{S}^1:=\{z \in \mathbb{C}\ |\ |z|=1\}. Une autre manière de voir le cercle consiste à l’imaginer comme un segment dont on aurait « recollé » les extrémités, c’est-à-dire en formules :  \mathbb{T}^1:=\mathbb{R}/\mathbb{Z}. Ces deux représentations sont équivalentes, ce qui se traduit par l’existence d’un homéomorphisme h de \mathbb{T}^1 sur \mathbb{S}^1 donné par h(x)=\exp(2 i\pi x).

Le système dynamique auquel on s’intéresse ici est celui associé à une rotation irrationnelle. Dans le modèle \mathbb{S}^1, la rotation R_{2\pi \alpha} est l’application \hbox{e}^{2 i \pi \theta} \mapsto \hbox{e}^{2 i \pi(\theta+\alpha)}, tandis que dans \mathbb{T}^1 la rotation \tau_\alpha est l’application x \mapsto x+\alpha. Notons que R_{2\pi \alpha} et \tau_\alpha ont le même comportement dynamique, puisque pour tout n \in \mathbb{Z}, on a h \circ (\tau_\alpha)^n \circ h^{-1} = (R_{2\pi \alpha})^n. L’écriture dans \mathbb{T}^1 étant plus économique, c’est désormais celle-ci que nous utiliserons. Précisons enfin que par « rotation irrationnelle » on entend une rotation \tau_\alpha avec \alpha \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}.

Du point de vue topologique, une propriété importante des rotations irrationnelles est qu’elles sont positivement minimales, c’est-à-dire que pour tout x \in \mathbb{T}^1, l’orbite positive O^+(x) est dense dans \mathbb{T}^1, où l’on note O^+(x)=\{(\tau_\alpha)^n(x)=x+n\alpha,\ n \in \mathbb{N} \}. En effet c’est une généralisation facile du résultat bien connu sur la densité du sous-groupe \mathbb{Z}+ \alpha \mathbb{Z} de \mathbb{R} lorsque \alpha est irrationnel. Cette propriété signifie que quel que soit l’intervalle I de \mathbb{T}^1 qu’on considère, il existe une infinité d’itérés positifs de x par \tau_\alpha passant par I. Le résultat qui nous intéresse dans la suite consiste à préciser la manière dont ces itérés se répartissent dans le cercle.

La propriété d’équirépartition pour une rotation irrationnelle \tau_\alpha signifie que pour tout point x \in \mathbb{T}^1 et tout intervalle I du cercle, la fréquence de passage dans I des itérés de x sous \tau_\alpha est proportionnelle à sa longueur |I|.

On peut formaliser cette notion à l’aide de la définition suivante :

Définition : Si I est un intervalle de \mathbb{T}^{1}, on note \chi_I : \mathbb{T}^1 \to \{0,1\} sa fonction caractéristique. Une suite (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \in (\mathbb{T}^1)^{\mathbb{N}} est dite équirépartie si pour tout intervalle I de \mathbb{T}^1 :

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chi_I(x_k)=|I|.

La propriété d’équirépartition s’énonce alors de la manière suivante :

Proposition : Pour tout x \in \mathbb{T}^1, l’orbite positive O^+(x) est équirépartie.

Pour montrer cette propriété, le cadre naturel est celui de la théorie ergodique. Pour cela, on ajoute à notre système dynamique un ingrédient : la notion de mesure, qui va nous permettre d’obtenir des informations plus quantitatives.

La mesure dont on munit ici le cercle est la mesure de Lebesgue, notée Leb. Il s’agit de l’unique mesure de probabilité invariante par rotation : elle correspond à la mesure de Haar de \mathbb{T}^1 vu comme groupe compact. En notant \pi : [0,1[ \to \mathbb{T}^1 l’application (x \mapsto x+\mathbb{Z}) alors la mesure de Lebesgue sur \mathbb{T}^1 est donnée par \pi_*(Leb\vert_{[0,1[})Leb\vert_{[0,1[} est la mesure de Lebesgue sur [0,1[.

Comme Leb est invariante par rotation, elle est en particulier préservée par les rotations irrationnelles \tau_\alpha : pour tout intervalle I \subset \mathbb{T}^1, on a Leb(\tau_\alpha^{-1}(I))=Leb(I). On dit que le triplet (\mathbb{T}^1, Leb, \tau_\alpha) forme un système dynamique mesuré.

Ergodicité des rotations irrationnelles

Une propriété importante des rotations irrationnelles est qu’elles sont ergodiques pour la mesure Leb, c’est-à-dire que tout sous-ensemble du cercle invariant par \tau_\alpha est de mesure de Lebesgue 0 ou 1.

La démonstration qu’on donne ici repose sur les séries de Fourier. En effet, on peut voir que l’ergodicité de \tau_\alpha est équivalente au fait que toute fonction f \in L^2(Leb) invariante par \tau_\alpha soit constante presque partout. Soit donc f \in L^2(Leb) ; elle coïncide dans L^2 avec sa série de Fourier \sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n \hbox{e}^{2i \pi n x}. L’invariance par \tau_\alpha s’exprime de la manière suivante :

\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n \hbox{e}^{2i \pi n x}=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} c_n \hbox{e}^{2i \pi n (x+\alpha)}=\sum\limits_{n \in \mathbb{Z}} (c_n \hbox{e}^{2i \pi n \alpha}) \hbox{e}^{2i \pi n x}.

L’unicité des coefficients de Fourier nous donne : c_n(1-\hbox{e}^{2 i \pi n \alpha})=0 pour tout n \in \mathbb{Z}. Comme \alpha est irrationnel, 1-\hbox{e}^{2 i \pi n \alpha} \neq 0 pour n \neq 0, donc c_n=0 pour n \neq 0 et f est constante dans L^2. #

De l’ergodicité de \tau_\alpha on déduit un premier résultat allant dans le sens de l’équirépartition. En effet, sous l’hypothèse d’ergodicité, les mesures temporelles et spatiales coïncident : soit f une fonction intégrable pour la mesure de Lebesgue, alors pour presque tout point x \in \mathbb{T}^1, on a :

\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} f \circ \tau_\alpha^k(x) = \int_{\mathbb{T}^1} f\ dLeb.

Les moyennes temporelles S_n(x):=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} f \circ \tau_\alpha^k(x) sont appelées sommes de Birkhoff.

Considérons maintenant I un intervalle de \mathbb{T}^{1} ; on choisit comme fonction f la fonction caractéristique de I. Puisque \chi_I \in L^1(dLeb), ce qui précède nous dit que pour presque tout x \in \mathbb{T}^1,

\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x)=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \chi_I(x+k \alpha)=\int_{\mathbb{T}^1} \chi_I\ dLeb=|I|.

Mais le résultat d’équirépartition qu’on cherche à obtenir est plus fort : il énonce une convergence des sommes de Birkhoff pour tout point. On va pour cela utiliser une notion plus forte que l’ergodicité : en effet, pour un rotation irrationnelle \tau_\alpha, la mesure de Lebesgue est en fait l’unique mesure de probabilité invariante. On dit encore que \tau_\alpha est uniquement ergodique pour la mesure de Lebesgue.

Unique ergodicité et équirépartition

Pour montrer l’unique ergodicité, considérons une mesure de probabilité \mu sur \mathbb{T}^1 invariante par \tau_\alpha. Alors pour toute fonction continue f sur \mathbb{T}^1 et tout entier n, on a :

\int_{\mathbb{T}^1}f(x+n\alpha) d\mu(x)=\int_{\mathbb{T}^1}f(x) d\mu(x).

Par densité de la suite (n\alpha)_{n \in \mathbb{N}} et continuité uniforme de f, on a :

\forall t\in \mathbb{T}^1, \int_{\mathbb{T}^1}f(x+t) d\mu(x)= \int_{\mathbb{T}^1}f(x) d\mu(x) .

Or la mesure de Lebesgue est l’unique mesure de probabilité invariante par toutes les rotations, ce qui conclut. #

Remarquons au passage que cela fournit une deuxième preuve de l’ergodicité de \tau_\alpha, puisque l’unique ergodicité entraîne l’ergodicité.

Pour prouver la propriété d’équirépartition, on va avoir recours au résultat suivant, qui découle de l’unique ergodicité de \tau_\alpha, \alpha \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} :

Proposition : Pour toute fonction continue f, la suite des sommes de Birkhoff \left(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f \circ \tau_\alpha^k\right)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers l’intégrale de f par rapport à la mesure de Lebesgue.

Nous sommes à présent armés pour montrer la propriété d’équirépartition pour \tau_\alpha, \alpha \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}.

Soit I=[a,b] un intervalle du cercle et \varepsilon > 0 assez petit. On pose I_{-\varepsilon}:=[a+\varepsilon,b-\varepsilon] \subset I \subset I_\varepsilon:=[a-\varepsilon,b+\varepsilon]. On introduit \chi_{-\varepsilon} une fonction plateau de support inclus dans I prenant la valeur 1 sur I_{-\varepsilon} ; de même soit \chi_{\varepsilon} une fonction plateau de support inclus dans I_{\varepsilon} prenant la valeur 1 sur I.

FonctionCaract

Ces deux fonctions encadrent \chi_I :

\chi_{-\varepsilon} \leq \chi_I \leq \chi_{\varepsilon},        (1)

et de plus

|I|-2\varepsilon \leq \int_{\mathbb{T}^1}\chi_{-\varepsilon}\ dLeb \leq |I| \leq \int_{\mathbb{T}^1}\chi_{\varepsilon}\ dLeb \leq |I| + 2 \varepsilon.        (2)

On déduit de (1) : \forall x \in \mathbb{T}^1,\ \forall n \in \mathbb{N},

\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\chi_{-\varepsilon} \circ \tau_\alpha^k (x) \leq \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\chi_{I} \circ \tau_\alpha^k (x) \leq \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\chi_{\varepsilon} \circ \tau_\alpha^k (x).

En appliquant la proposition précédente à ces deux fonctions plateau on déduit, grâce à la convergence uniforme et à l’aide des inégalités (2), l’existence d’un rang n_0 tel que pour n\geq n_0 et tout x \in \mathbb{T}^1 :

|I|-3\varepsilon \leq \left(\int_{\mathbb{T}^1} \chi_{-\varepsilon}\ dLeb\right) - \varepsilon \leq \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\chi_{-\varepsilon} \circ \tau_\alpha^k (x) \leq \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\chi_{I} \circ \tau_\alpha^k (x)

\leq \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\chi_{\varepsilon} \circ \tau_\alpha^k (x) \leq \left(\int_{\mathbb{T}^1} \chi_{\varepsilon}\ dLeb\right) + \varepsilon \leq |I|+3 \varepsilon.

Ceci étant vrai pour tout \epsilon > 0 assez petit, on en déduit le résultat d’équirépartition pour \tau_\alpha annoncé. #

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