On se donne un ensemble X et une application T: X -> X que l’on voudrait étudier: il s’agit d’un système dynamique. Une façon de l’étudier est de regarder le comportement des orbites des points: étant donné x \in X, on se pose des questions sur l’ensemble des T^{n} x pour n \in \mathbb{Z}. On peut se poser des questions comme:

  • Est-ce que T admet des points fixes?
  • Des orbites finies?
  •  Est-ce qu’une orbite repasse « près » du point de départ?

On demande souvent que l’application T préserve une structure supplémentaire pour avoir un peu plus d’information pour l’étudier. On peut demander, par exemple, qu’elle soit continue ou qu’elle préserve une mesure. Dans chaque cas, on étudie la dynamique de l’application « à conjugaison près »: on s’intéresse, comme on peut le voir ici, au comportement intrinsèque du système et non pas aux détails liés au choix des coordonnés pour l’étudier. Il faut alors se restreindre pour le choix des applications par lesquelles on s’autorise à conjuguer: si T est continue, on voudrait des homéomorphismes, si elle préserve une mesure, des applications qui la préservent aussi.

Considérons le cas où T est une isométrie: elle préservera alors une distance. Voyons, sur un exemple concret, les informations que l’on peut obtenir à partir de la remarque suivante sur la conjugaison en général:

Si T et T' sont conjuguées par H (c’est-à-dire T' = H T H^{-1}) alors H envoie les orbites de T sur les orbites de T'.

En effet, puisque H est un changement de coordonnées, les itérés d’un point (les T^{n}x) seront envoyés sur les itérés de Hx, à savoir les T'^{n}(Hx).

Voyons ce que nous pouvons en tirer en appliquant ceci aux isométries de \mathbb{R}^2. Notons T_{a} la translation de vecteur a, R_{x,\alpha} la rotation de centre x et d’angle \alpha et S_{D} la symétrie par rapport à la droite D.

 transl_sd rot_sdsym_sd

Essayons d’avoir un peu de familiarité avec la conjugaison pour ces applications. On sait (ou en tout cas si on fait appel à la mémoire et aux cours du collège) que toutes les isométries de \mathbb{R}^2 sont d’un de ces types là. On peut par exemple se demander quelle isométrie on obtient par F = R_{0,\alpha}T_{(1,0)}R_{0,- \alpha}. On peut répondre de tête, à condition de savoir calculer vite ou de considérer ce que nous avions remarqué sur les orbites. L’orbite du point 0 pour T_{(1,0)} est l’ensemble des (n,0) avec n entier. En conjugant par R_{0,\alpha}, on obtient que l’orbite du point 0 pour F est l’ensemble des R_{0, \alpha}(n,0) avec n entier. L’application recherchée est alors de la translation de vecteur R_{0,\alpha}(1,0) i.e. de T_{ ( cos(\alpha) , sin(\alpha) ) }.

figure1_sd

Voici un deuxième exemple: quelle est l’isométrie G = T_{(1,0)} S_{D} T_{(-1,0)} ? Les points de D sont fixes pour S_{D} et tous les autres points ont des orbites à deux éléments. Puisqu’on conjugue par T_{(1,0)}, les points de T_{(1,0)} D sont fixes pour G et les autres auront des orbites à deux éléments. G est donc la symétrie par rapport à T_{(1,0)} D.

Conjugaison d'une symétrie par une translation

On peut ainsi classifier les isométries de \mathbb{R}^2 à conjugaison près en faisant des considérations « dynamiques ». En laissant de côté la preuve, on peut énoncer la classification suivante: Une isométrie F de \mathbb{R}^2 est conjuguée à:

  • T_{(d,0)} pour un d \in \mathbb{R}^{+} si F admet une orbite non bornée.
  • R_{(0, \alpha)} pour un \alpha \in [0,2 \pi] si F a exactement un point fixe.
  • S_{\mathbb{R}(1,0)} si F admet une droite fixe et un point avec une orbite d’ordre 2.
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