Ou comment revisiter une fable bien connue avec l’œil d’un dynamicien.

(Note : pour une version équivalente mettant en scène Dupond et Dupont en lieu et place des deux animaux héros de cet article, on renvoie à un autre billet de ce blog, Du nombre de rotation ou la mésaventure des Dupondt dans le désert )

Rien ne sert de courir ; il vaut mieux raisonner.

Peuvent l’attester le lapin et l’escargot.

Gageons, dit ce dernier, que jamais vous n’aurez

La victoire à la course. Jamais ? Êtes-vous sot ?

          Répartit l’animal léger.

          Sot ou non, je parie encore.

     Et le lapin de renchérir alors :

          Vous ne pourrez me rattraper

          Si je commence devant vous.

C’est ce que nous verrons, lui fit l’animal mou.

          Ainsi fut fait ; ils décidèrent

Que la course ferait le tour du bois voisin.

Le départ fut donné ; et les deux adversaires,

Décidés à gagner, s’élancèrent enfin.

L’escargot part, s’élance, se hâte avec lenteur ;

Le lapin, refusant de perdre son honneur

Ayant eu vent la veille de la déconvenue

De son aîné le lièvre, fait montre de prudence.

Il ne prend pas de pause, ne réduit sa cadence

Que quand son concurrent est loin et hors de vue,

De sorte que, quand l’escargot déterminé

          A terminé son tour,

Le lapin est sur lui aussi bien avancé

          Qu’au début du concours.

          Mais l’escargot insatisfait

          Garda fière figure,

          Exigea un second essai,

          Relança la gageure.

Or la seconde course fut en tous points semblable ;

Et le gastéropode, bien loin de déchanter,

Continuait tour sur tour, espérant bien gagner,

Mais répétait encor cette course immuable.

Figure 1

Situation 1

Figure 2

Situation 2

Laissons pour l’instant la morale de cette fable en suspens et résumons la situation. Au début de la course (cf. situation 1), le lapin (L) part un peu en avance sur l’escargot (E), qui doit essayer de le rattraper. La flèche symbolise le sens de la course, et le point A_0 est le point de départ de l’escargot.

A la fin de la course, les positions du lapin et de l’escargot sont les mêmes : le lapin termine de faire un tour complet exactement quand l’escargot fait de même. Nos deux protagonistes enchaînent donc directement sur une nouvelle course, qui se déroule exactement comme la première ; en d’autres termes, le mouvement de L et E est périodique. Pendant un tour, le lapin prend parfois plus d’avance sur l’escargot, parfois en perd, mais dans tous les cas reste devant ; quant à l’escargot, il avance à vitesse constante.

Situation 3

Situation 3

Intéressons-nous à présent aux états d’âme du gastéropode pendant la course. L’épreuve est exténuante pour lui ; afin de se redonner du baume au cœur, il décide d’adopter la stratégie suivante :

« Il m’est bien difficile de rattraper le lapin. Mais je le vois devant moi ; commençons par rejoindre le point où il se trouve actuellement, et avisons ensuite »

Supposons pour l’instant que l’escargot fait ce raisonnement au début de la course, dans la situation 1. Évidemment, une fois l’objectif atteint, le lapin est encore devant car il a poursuivi sa course dans l’intervalle ; mais l’escargot ne se décourage pas, baptise A_1 le point qu’il a atteint, et décide de renouveler le procédé (situation 2).

Une étape après, on est donc dans la situation 3, où l’escargot a baptisé son nouvelle objectif atteint A_2. Et l’escargot de continuer sa stratégie au long des courses successives (situation 4).

Situation 4

Situation 4

L’escargot rusé a alors l’idée de calculer la moyenne des distances séparant deux objectifs successifs A_i et A_{i+1}. A mesure que les courses se succèdent, il constate que cette sorte de « retard moyen » converge vers une certaine quantité ! Cette limite \rho est appelée nombre de rotation. Ainsi le mollusque matheux décide-t-il, faute de rattraper le lapin, d’étudier les nombreuses propriétés que semble posséder ce nombre. Prenons à présent un point de vue omniscient, et voyons ce que découvre l’escargot selon les valeurs de \rho.

« Légitimité » de \rho

On a supposé dans ce qui précède que l’escargot applique sa stratégie dès le début de la course. Or celui-ci doute soudain : et s’il avait attendu ? \rho aurait-il été différent ? Sans doute cela nuirait à l’intérêt de ce nombre.

Le gastéropode réalise alors que s’il commence sa stratégie au niveau d’un point A_i, son objectifs successifs  seront A_{i+1}, A_{i+2}, … : il marquera les mêmes points (excepté A_0, …, A_{i-1}). Or \rho, comme limite, ne dépend pas des premiers termes, donc est bien inchangé.

L’escargot envisage ensuite d’avoir commencé sa stratégie non au niveau d’un point A_i, mais entre deux d’entre eux, A_i et A_{i+1}. D’après le premier cas envisagé, il peut supposer que ces points sont A_0 et A_1. Or au vu des figures 1 et 2, quand il se trouve entre A_0 et A_1, le lapin est quant à lui quelque part entre A_1 et A_2. Et ainsi de suite : quand l’escargot atteint son premier objectif, entre A_1 et A_2, le lapin est entre A_2 et A_3, etc.  Cet « encadrement » des objectifs successifs conduit, après quelques calculs simples, au fait que le nouveau retard moyen diffère de l’ancien par une quantité tendant vers 0  : \rho ne dépend donc pas du point en lequel l’escargot entame sa stratégie.

Invariance par changement de terrain

Reprenons notre fable au début et supposons, ceteris paribus, qu’il ait plu peu avant le début de la course ; à cause de cette averse, certaines portions du terrains sont plus ou moins boueuses. Supposons à présent que ces zones boueuses handicapent exactement de la même façon le lapin et l’escargot. Malgré cette hypothèse, un observateur extérieur pourrait croire qu’un tel événement change la donne et modifie le retard moyen de l’escargot sur le lapin. Il n’en est en fait rien : on peut prouver que le nombre de rotation ρ reste inchangé.

Rationalité ou irrationalité

De façon surprenante, la rationalité ou non de \rho influence nettement la façon dont les points A_i sont répartis. Plus précisément :

–          Si \rho est rationnel (disons égal à p/q, p et q premiers entre eux), il existe certains points du parcours tels que, si l’escargot commence sa stratégie en ces points (au lieu de la commencer au départ de la course comme précédemment), alors arrive un moment où le gastéropode doit rebaptiser un point. En d’autres termes, il va se fixer comme objectif un point qu’il avait déjà pris pour objectif à un tour précédent : la suite (A_i) est périodique. De plus la période vaut q : A_i=A_{i+q} pour tout i, et le nombre de tours que l’escargot a réalisés entre A_i et A_{i+q} est p … Ainsi les points A_i sont distribués comme si au long de la course le retard de l’escargot était constant égal à p/q.

–          Si \rho est irrationnel, c’est tout le contraire qui se passe : quel que soit le moment où l’escargot amorce sa stratégie, il ne donnera jamais deux noms à un même point. Les points A_i sont même denses dans le cercle ! Cela rappelle un résultat à propos des rotations irrationnelles du cercle, dont traite un autre article de ce blog. Et c’est à juste titre : on peut prouver que, quitte à rendre certaines zones du terrain plus ou moins boueuses  à l’aide d’une averse appropriée, alors tout au long de la course le retard de l’escargot sur le lapin restera rigoureusement constant (égal à \rho).

Il faut noter que cette dernière propriété est fausse dans le cas rationnel : par exemple considérons les deux situations suivantes.

1)      Le lapin, craignant de peiner l’escargot, commence la course au même endroit que ce dernier, et reste à sa hauteur jusqu’à la fin du tour. Dans ce cas, le retard de l’escargot est constant égal à 0.

2)      Le lapin, parti en tête, est victime d’un violent coup de fatigue ; il avance alors si lentement que l’escargot finit par le rattraper. Dans ce cas, le retard de l’escargot tend vers 0.

Dans les deux cas, le nombre de rotation \rho est donc nul ; cependant, les modifications de terrain affectant de la même façon le lapin et l’escargot, elles ne changent en rien la situation du cas 1). On ne peut donc ramener le cas 2) au cas 1), par quelque averse que ce soit.

Remarque : dans l’exemple précédent, on voit que quand l’escargot rattrape le lapin, le nombre de rotation est nul. C’est en fait même équivalent : si \rho est nul, cela signifie que le retard moyen de l’escargot tend vers 0 ; mais par compacité du cercle, cela entraîne qu’il existe un point ou ce retard est nul, i.e. où l’escargot rattrape le lapin …

Morale de l’histoire :

Si un jour l’on prétend pouvoir vous rattraper

Demandez seulement si \rho est nul ou non ;

Car des deux animaux dans ces pages contés

L’on dit qu’aujourd’hui ils tournent encor en rond.

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