[Note : pour une version équivalente mettant en scène un lapin et un escargot en lieu et place des deux bachi-bouzouks héros de cet article, on renvoie à un autre billet de ce blog, le lapin et l’escargot]

Dupond et Dupont sont perdus ! A la recherche de l’infâme cheik Bab el Ehr, ils sillonnent le désert du Khemed à bord de leur jeep. Mais égarés, les malheureux suivent désespérément des traces de pneus, dans le sable… leurs propres traces ! Et oui, voilà plusieurs heures que nos amis tournent en rond, indéfiniment, le long d’un immense cercle…ornoir29

Imaginons maintenant que, lassés par leur parcours infini, Dupond et Dupont profitent de leur mésaventure pour se livrer à une petite expérience : en vue de se préparer au prochain rallye organisé par Séraphin Lampion à Moulinsart, ils décident d’effectuer quelques statistiques, à l’aide du Cours d’Arithmétique de Brachet et Dumarqué (*), sur leur vitesse en voiture sur terrain plat. Voilà comment ils procèdent : Dupont descend, et laisse la jeep conduite par Dupond prendre un peu d’avance sur le cercle. Puis, à un moment donné, il se lance à la poursuite de la voiture.

Dupont est à pied, et évolue à vitesse constante. Ce n’est pas le cas de la voiture de Dupond ! Car ce dernier a par erreur ingurgité quelques comprimés de N14, conçus par l’odieux Professeur Müller, qui provoquent d’étonnants troubles capillaires : avec tous ces problèmes, il a bien du mal à conduire sa jeep qui avance de manière plutôt chaotique. Aussi la jeep suit-elle une certaine distribution de vitesse sur le cercle. Cette distribution est néanmoins telle que nos deux amis mettent exactement autant de temps à faire un tour du cercle : c’est-à-dire qu’une fois le premier tour effectué, ils se retrouvent dans la configuration initiale ; et que la poursuite prend exactement la même allure pour chacun des tours suivants.

I) Où l’on découvre l’existence du nombre de rotation

Au bout d’un moment, Dupont souhaite faire quelques estimations sur le retard qu’il a sur la jeep, leurs positions relatives, en particulier la possibilité qu’il a ou non de rattraper Dupond. Voyant la voiture, au loin, il se dit : « Pour rattraper Dupond, je dois d’abord me rendre à l’endroit où il est actuellement ! » Sitôt dit, sitôt fait, voilà Dupont qui arrive audit endroit. La jeep n’y est plus, elle a eu le temps d’avancer ; mais Dupont ne se décourage pas. A l’aide de sa canne, acquise au Vieux Marché, il fait une marque dans le sable à cet endroit. Puis il recommence : « A présent, je vais me rendre à l’endroit où Dupond est maintenant. » Endroit qu’une fois atteint, Dupont marque au sol. Et ainsi de suite : Dupont met une marque à l’endroit où se trouvait la jeep lorsqu’il était à la marque précédente. Bien sûr, il ne s’arrête pas à la fin de son premier tour de cercle : il ajoute les marques, inlassablement, qui éventuellement se superposent aux anciennes, ou bien, au contraire, tombent à des endroits distincts.

La distance entre deux marques tracées successivement représente donc le retard de Dupont à un moment donné. Du coup, à chaque fois qu’il fait une marque, Dupont calcule, à l’aide de techniques complexes apprises sous l’égide de l’assistant du professeur Calys, la moyenne des distances séparant deux marques qu’il a tracées successivement. Et là, quelle n’est pas sa stupéfaction : car il s’aperçoit que ces nombres convergent, je dirais même plus, tendent vers une limite finie ! Sapristi, c’est inouï ! Autrement dit, le retard moyen, calculé en les marques, converge, quand Dupont itère le processus, vers un nombre réel baptisé nombre de rotation.

Dupont n’en croit pas ses moustaches, il veut en avoir le cœur net. Sans arrêter d’avancer, il décide alors de reprendre son expérience à zéro : il met une première marque à un endroit quelconque, et recommence le processus… A nouveau, la distance moyenne entre deux marques semble converger… mais ce que Philipulus le prophète en personne n’aurait pu prédire, c’est que la limite est la même ! Et le phénomène est général : pour une distribution de vitesse de la jeep de Dupond, en quelque endroit du cercle que Dupont commence ses mesures, il obtiendra encore et toujours la même limite ; c’est-à-dire finalement : le nombre de rotation est indépendant de l’endroit où est faite la première marque.

Dupont est un fin limier, pour lui les mystères sont faits pour être résolus, Aristide Filoselle pourrait le confirmer. Comment se fait-il que le processus converge, et que la limite ne dépende pas du point de départ ? Alors sous son chapeau, il se creuse les méninges… et parvient à l’explication suivante : au fur et à mesure de l’expérience, il y a de plus en plus de marques autour du cercle ; les intervalles entre deux marques sont de plus en plus petits… mais lorsqu’une nouvelle marque tombe entre deux anciennes, alors forcément, la suivante tombera entre celles qui ont immédiatement suivies les premières. C’est-à-dire, se dit Dupont, plus l’expérience avance, plus il m’est possible de déterminer précisément la position de la marque suivante, et plus la distance entre deux marques tracées successivement est connue précisément.

II) Où Dupont aimerait rattraper Dupond

Fort de ces considérations, Dupont a l’esprit en ébullition : se pourrait-il que le nombre de rotation indique si Dupont va ou non rattraper Dupond ? Il analyse donc la situation : si dans l’expérience vient un moment où Dupont rattrape Dupond, alors, puisque le nombre de rotation est indépendant de l’endroit de la première marque, on peut le calculer en mettant cette première marque au point de rencontre des deux Dupondt. Que se passe-t-il alors ? Et bien, la marque suivante sera tracée au même endroit, et celles d’après également, et ainsi de suite ; car Dupont et Dupond se trouvant au même point, la jeep n’a pas le temps d’avancer avant que Dupont n’atteigne l’endroit où elle se trouvait auparavant ! Autrement dit, toutes les marques se superposent : la distance entre deux marques est donc nulle, et par conséquent, le nombre de rotation vaut zéro.

Réciproquement, si le nombre de rotation est nul, cela signifie que le retard moyen entre les poursuivants tend vers zéro. Dupont invoque alors un argument de compacité bien connu des exégètes pour déduire que vient nécessairement un moment où le retard est égal à zéro, c’est-à-dire précisément un moment où Dupont a rattrapé Dupond.

Ainsi, l’acclaire est faire : Dupont rattrape la jeep de Dupond si et seulement si le nombre de rotation vaut zéro.

III) Où l’on discute de la rationalité du nombre de rotation

‘Botus et mouche cousue’, certes, mais vient un moment où Dupont doit prévenir Dupond de ses découvertes afin de les affiner. Il appelle donc, dans l’immensité du désert : « …upond ! …upond ! » et une fois ce dernier arrivé, lui explique : « Recommençons l’expérience plusieurs fois. A chaque essai, tu tâcheras d’avoir une distribution de vitesse différente. Ainsi, je pourrai étudier l’allure de la poursuite en regard de la valeur du nombre de rotation de ta jeep. » Ils se mettent au travail. A chaque expérience, la jeep avance de manière différente ; Dupont, lui, progresse à pied toujours identiquement. Après quantité d’essais de ce type semble se présenter une dichotomie intéressante : la poursuite prend des allures très différentes selon que le nombre de rotation est rationnel ou non.

Prenons une configuration où le nombre de rotation est rationnel. Qu’observe alors Dupont ? Il observe qu’il existe un point du cercle pour lequel, s’il y trace la première marque, alors il y tracera l’une des marques suivantes. C’est-à-dire qu’il existe un point de départ de l’expérience qui la rende périodique ! Tonnerre de Brest ! Les marques ne seront finalement tracées qu’en un nombre fini de points du cercle.

Les deux policiers se penchent alors sur une configuration où le nombre de rotation est irrationnel. Dupont met les marques, les unes après les autres… Travail long et fastidieux qui lui rappelle le temps où il pompait inlassablement sur le Sirius du capitaine Chester. Car le procédé ne va jamais boucler : toutes les marques seront deux à deux distinctes. Et, par les moustaches de Plekszy-Gladz ! l’ensemble des marques est dense dans le cercle…

IV) Où l’on discute de l’influence de la topographie

Voilà que souffle le khamsin ! Dupond et Dupont arrêtent les expériences un instant pour se mettre à l’abri. Quand la tempête cesse enfin, ils reprennent leurs observations, mais la topographie du désert a complètement changé. De fait, l’apparition de creux et de dunes perturbe grandement l’avancée des deux compères. Il y a maintenant des zones sur le cercle où les deux Dupondt sont soumis à des variations de vitesse, identiques pour chacun d’eux. Dans cette configuration, leur position relative va changer : mettons par exemple que la jeep de Dupond arrive sur une zone à fort relief, et doive ralentir ; Dupont n’y est pas encore, et marche à fière allure : son retard sur Dupond, par rapport à la situation précédente, diminue… jusqu’à ce que lui aussi arrive dans cette zone. Et au moment où la voiture quitte la zone, elle reprend de l’avance sur Dupont qui, lui, est encore soumis au ralentissement.

Mille sabords ! Les Dupondt observent alors un phénomène des plus intéressants : pour une expérience donnée, sur terrain plat ou accidenté, le nombre de rotation reste inchangé ! Autrement dit, si l’on fixe une distribution de vitesse de la jeep, alors rajouter ou non des zones de modification de la vitesse, modification identique pour les deux poursuivants, ne change pas le nombre de rotation.

En bons scientifiques, les Dupondt se demandent : pour deux distributions de vitesse de la jeep donnant le même nombre de rotation, y a-t-il réciproquement une topographie du terrain pour la première distribution qui donnerait les positions relatives de la seconde ?

La réponse est non en général. En effet, considérons l’expérience où en tout instant, Dupont et Dupond sont au même point, avançant à vitesse identique constante. Et prenons comme seconde expérience un cas non dégénéré, où Dupont rattrape Dupond (par exemple, ils partent suffisamment proches, et la jeep va au début suffisamment lentement pour que Dupont la rattrape sans problème). Ces deux expériences donnent le même nombre de rotation, zéro. Mais modifier la topographie du désert dans la première expérience ne changera bien sûr pas les positions relatives des Dupondt ; et de fait, on n’a aucune chance d’obtenir celles de la deuxième configuration.

Mais la découverte sensationnelle que font les Dupondt est la suivante : pour un nombre de rotation irrationnel, la réponse est oui ! En particulier, si l’on prend une distribution de vitesse donnant un nombre de rotation irrationnel, alors en modifiant le relief, on peut faire en sorte que la distance entre les deux acolytes soit constante, égale à ce nombre de rotation.

V) Conclusion

Les Dupondt ne vont peut-être pas retrouver leur chemin de sitôt, mais ils ont en tout cas mis en lumière les propriétés d’un outil remarquable de dynamique sur un cercle, le nombre de rotation. Ils sont maintenant fin prêts à affronter le rallye de Lampion, à moins que leur moteur ne fasse boum, ou que toutes leurs géniales observations n’aient été le fruit… d’un mirage.

(*) Sur la nécessité d’avoir avec soi le Brachet et Dumarqué quand on parcourt le désert en voiture, voir aussi Boris Vian, L’Automne à Pékin, 1er mvt, IV.

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