L’étude des itérées des fonctions holomorphes a commencé au XIXe siècle et le domaine s’a été radicalement développé  au XXe siècle. Plusieurs mathématiciens ont travaillé sur la dynamique complexe, parmi eux : P. Fatou, G. Julia, H. Cremer, J.-C. Yoccoz. Aujourd’hui, c’est un domaine de recherche actuel en mathématiques.

Comme toute fonction holomorphe f peut être représentée par une série convergente de la forme

f(z) = f(z_0)+\frac{f' (z_0)}{1!}(z-z_0)+...+\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n+. . .

au voisinage d’un point z_0 (par le théorème de Taylor), on s’aperçoit vite que la dynamique des polynômes joue un rôle essentiel.

Le problème de linéarisation

On considère une fonction holomorphe f qui a un point fixe en \zeta et on pose \lambda =f ' (\zeta). La question fondamentale est : Est-ce qu’il existe un changement holomorphe de variables w=h(z) avec h(\zeta)=0 tel que f(h(w))=h(\lambda w) au voisinage du point fixe \zeta ? Autrement dit, on cherche une conjugaison (locale) entre f et l’application linéaire \varphi (w)= \lambda w. Si une telle conjugaison existe on dit que f est localement linéarisable. Par conséquent, au voisinage du point fixe,  toute propriété dynamique de la fonction \varphi est transportée par h en une propriété de f ! N’oublions pas que la formule de conjugaison implique que f^k \circ h= h \circ \varphi ^k f^k et \varphi ^k sont les k-èmes itérées de  f et \varphi respectivement.

Evidemment le problème dépend de la valeur de \lambda. Ici, on s’occupera seulement d’un certain cas qui à l’époque était difficile à traiter. On considère le cas où | \lambda | = 1 et \lambda n’est pas une racine de l’unité.
Autrement dit, \lambda s’écrit comme \lambda = e^{2 \pi i \xi}\xi est un nombre réel et irrationnel.

Remarque: On s’amène ainsi au cas où la fonction \varphi (w)= \lambda w est la rotation irrationnelle. On sait que la rotation irrationnelle n’a pas des points périodiques. En conséquence, si f est linéarisable, il n’y aura pas des points périodiques au voisinage de son point fixe.

La conjecture de Kasner et le théorème de Cremer

En 1912 Edward Kasner a prétendu qu’une telle linéarisation est toujours possible (pour les valeurs de \lambda considérées comme ci-dessus). Quelques années plus tard, G. Pfeiffer et puis G. Julia ont essayé de prouver que la conjecture était fausse mais sans avoir donné des résultats précis. Finalement, en 1927, H. Cremer a réussi à donner un contrexemple en trouvant une classe de fonctions non linéarisables.

Condition de Cremer:

On dit que \xi \in \mathbb{T}^1 irrationnel satisfait la condition de Cremer (de degré d) si le nombre \lambda associé satisfait l’inégalité :

\limsup_{k \to \infty} \frac{\log \log (1/|\lambda^k-1|)}{k} >\log d

Théorème de Cremer

Soit f une fonction rationnelle (arbitraire) de degré d qui a un point fixe en \zeta avec f' (\zeta)= \lambda = e^{2 \pi i \xi} .
Si \xi satisfait la condition de Cremer pour d\geq 2, alors tout voisinage de \zeta contient une infinité d’orbites périodiques. Donc une linéarisation autour de \zeta n’est pas possible (cf. la remarque) .

On donnera ici une esquisse de la preuve en laissant les détails au lecteur.

Tout d’abord, il faut s’assurer que l’ensemble des nombres \lambda \in \mathbb{C} qui satisfont la condition de Cremer n’est pas vide, ce qui n’est pas évident. En fait, il suffit de remarquer que cet ensemble contient une intersection dénombrable d’ouverts denses: \bigcap_{k>k_0} \{\lambda \in \mathbb{C} / | \lambda ^k - 1| < e^{-d^k} \} . Donc, par le théorème de Baire, l’ensemble est dense.

1ère étape: Pour faciliter les calculs (notamment en termes de coefficients de la série de Taylor) on suppose dès maintenant que le point fixe \zeta de f est l’origine. Car en utilisant encore une fois la notion de conjugaison on peut trouver une fonction g holomorphe, bijective et définie sur le voisinage de \zeta  avec g(\zeta)=0 et on pose F=g \circ f \circ g^{-1} . La fonction g pourrait être par exemple une homographie bien choisie. Ainsi les fonctions F et f sont conjuguées et elles partagent les mêmes propriétés dynamiques. C’est-à-dire, F a un point fixe à l’origine et on remarque que F' (0)=f' (\zeta)= \lambda. Par abus de notation, on notera f au lieu de F.

2ème étape: On montrera d’abord le théorème pour le cas où f est un polynôme de degré d du type:
f(z)= z^d + ... + \lambda z . Evidemment f a un point fixe à l’origine et f' (0)= \lambda. Ensuite,on s’intéresse aux points fixes de la k-ème itérée de f , f^k = z^{d^k} + ...+ \lambda ^ k z . N’oublions pas qu’en étudiant les points fixes de f^k on étudie les points périodiques de f dont la période divise k. Les points fixes de f^k sont les racines de l’équation z^{d^k} + ... + (\lambda ^k -1)z = 0. A part la racine en zéro, le produit des autres d^k-1 racines est égal à \pm (\lambda ^k - 1) et donc on peut avoir facilement une majoration. Plus précisément, on peut dire que au moins un des points fixes non nuls, appelons-le \kappa , sera majoré : |\kappa|< |\lambda ^k -1|^ {1/(d^k -1)} . Ensuite, en utilisant la condition de Cremer on a que  |\kappa|<exp(-e^{\varepsilon k}) pour \varepsilon >0. Puis par le théorème de Taylor, on écrit f(z)=\lambda z + O(z^2) au voisinage de l’origine et  on peut choisir \delta > 0 très petit tel que |f(z)|<e^\varepsilon |z| quand |z|<\delta. En conséquence, la k-ème itérée est aussi majorée: |f^k (z)|<\delta quand |z|<e^{-\varepsilon k} \delta .  En fait,  pour k arbitrairement grand, on a |\kappa |< \delta e^{-\varepsilon k} .  Alors, pour la fonction f, on a trouvé au moins un point périodique au voisinage du point fixe dont l’orbite est incluse dans ce voisinage. Plus précisément, dans un voisinage bien choisi il y a une infinité d’orbites périodiques.

3ème étape : Pour une fonction rationnelle f, on cherche à trouver une expression de f qui nous convient. D’abord, on peut appliquer des conjugaisons par homographies afin d’écrire f comme f= \frac {P(z)}{Q(z)} P(z)= ... + \lambda z de degré au plus d-1 et Q(z)= z^d +...+ 1. Ensuite, on remarque que les points fixes de la k-ème itérée de f sont les racines de l’équation z (z^{d^k} + ... + (1-\lambda ^k)) = 0 . D’après les calculs déjà faits à la 2ème  étape on démontre le théorème.

Conclusion

Cremer a attaqué la conjecture de Kasner en démontrant ce théorème mais une question se pose: Sous quelles conditions notre fonction f pourrait être linéarisable? En 1942 C.L. Siegel a donné la réponse. On donne ici l’énoncé de son théorème:

Théorème de Siegel: Soit f fonction holomorphe qui en point fixe en \zeta et soit \lambda = e^{2 \pi i \xi}\xi nombre irrationnel.  S’il existe des constantes strictement positives C et q telles que \frac{1}{ | \lambda ^k - 1|} \leq C k^q , alors f est  localement linéarisable.

Finalement, sur le problème de linéarisation il y a des résultats plus récents donnés par J.-C. Yoccoz et R. Perez-Marco en 1988 et 1990 respectivement.

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