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Les langues d’Arnol’d sont une illustration spectaculaire d’un principe bien connu : sur le cercle unité, l’orbite, c’est-à-dire la suite des images successives, d’un point quelconque par une rotation d’angle commensurable à \pi est périodique ; tandis que l’orbite de ce point par une rotation d’angle incommensurable à \pi est dense dans le cercle.

Cette différence de comportement entre les deux types de rotations se retrouve plus généralement au niveau de l’ensemble des homéomorphismes du cercle, c’est-à-dire des transformations du cercle sur lui-même conservant l’ordre des points : à tout homéomorphisme peut être associé un nombre de rotation, qui décrit son comportement.

Le nombre de rotation

Le concept de nombre de rotation est introduit par Henri Poincaré en 1885, dans la troisième partie de son mémoire « Sur les courbes définies par les équations différentielles ». Il s’intéresse, dans le chapitre XV de son étude, au comportement des solutions des équations différentielles sur le tore \mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2.

Par analogie avec l’orbite des planètes du système solaire, Poincaré impose tout d’abord que la longitude de la solution soit strictement croissante ; il considère ensuite les passages successifs de cette solution par un méridien fixé du tore, donc un cercle.

Se donnant un point de départ M_0, il appelle M_i le i-ème point passage, puis \alpha_i la longueur de l’arc (M_i,M_{i+1}). Poincaré démontre alors que le rapport

\frac{\alpha_i+\cdots +\alpha_{i+n}}{n},

équivalent à la moyenne de la distance sur le cercle entre deux images successives, tend vers une limite finie lorsque n tend vers l’infini, limite indépendante de i et de M_0. Il s’agit du nombre de rotation.

torus

Paramètres utilisés par Poincaré pour sa construction du nombre de rotation.

Afin de se familiariser plus avant avec le nombre de rotation, nous vous renvoyons à d’autres articles de ce blog, mettant en scène le duel d’un lapin et d’un escargot ou encore les tribulations des Dupondt dans le désert.

La définition actuelle du nombre de rotation pour un homéomorphisme f du cercle \mathbb{T}^1 = \mathbb{R}/\mathbb{Z} préservant l’orientation (on notera f \in \mathrm{Homeo}_+(\mathbb{T}^1)) est la suivante : considérant un relevé F de f sur  \mathbb{R} (c’est-à-dire tel que  \pi \circ F = f \circ \pi où  \pi est la projection canonique \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{T}^1) et x dans \mathbb{R}, le nombre de rotation de f, noté \rho(f), est défini par :

\rho(f) = \lim_{n \to \infty} \frac{F^n(x)-x}{n}

limite existante et indépendante de x par Poincaré. De plus, \rho : \mathrm{Homeo}_+(\mathbb{T}^1) \rightarrow \mathbb{T}^1 est une application continue.

Ainsi, la rotation d’angle \alpha, r_\alpha : x\mapsto x+\alpha définie sur \mathbb{T}^1 a pour nombre de rotation \rho(r_\alpha) = \alphaEn fait, lorsque \rho(f) est irrationnel, tout f \in \mathrm{Homeo}_+(\mathbb{T}^1) est semi-conjugué à r_{\rho(f)}, c’est-à-dire qu’il existe une surjection h de \mathbb{T}^1 telle que h\circ f = r_{\rho(f)}\circ h ; ce résultat est encore dû à Poincaré. Cependant, f n’est pas conjugué à r_{\rho(f)}, i.e. h n’est pas un homéomorphisme, en général. Ce résultat est dû à Arnaud Denjoy en 1932.

Poincaré a ensuite classé les homéomorphismes du cercle à partir de ces propriétés. En particulier, si \rho(f) est rationnel égal à p/q, alors f possède une orbite périodique de période q, et l’ensemble des points d’accumulation de toute orbite est périodique. Si \rho(f) est irrationnel, alors soit f est conjugué à la rotation d’angle \rho(f), soit f n’a pas d’orbite périodique et l’ensemble des points d’accumulation de toute orbite est un ensemble de Cantor, i.e. une partie fermée de \mathbb{T}^1 sans point isolé et totalement discontinue, indépendant de l’orbite considérée.

La rotation r_\alpha ayant pour nombre de rotation \alpha, il est légitime de se demander comment ce nombre de rotation est modifié lorsqu’une perturbation est appliquée à la rotation.

La famille d’Arnol’d

Considérons la famille des homéomorphismes f_{\alpha,\epsilon} définis sur \mathbb{T}^1 par

f_{\alpha,\epsilon} : x \mapsto x+\alpha+\frac{\epsilon}{2\pi}\sin(2\pi x)

\alpha et \epsilon décrivent [0,1]. Notons, à \epsilon fixé, \Delta_\epsilon(\beta) = \lbrace\alpha | \rho(f_{\alpha,\epsilon}) = \beta\rbrace.

On a donc \Delta_{0}(p/q) = \lbrace p/q \rbrace pour tout rationnel p/q. Mais lorsque \epsilon augmente, \Delta_{\epsilon}(p/q) devient un intervalle non trivial !

Ainsi, pour \epsilon donné, il est facile de voir que f_{0,\epsilon} admet un point fixe, et donc \rho(f_{0,\epsilon}) = 0. L’autre extrémité de \Delta_{\epsilon}(0) est atteinte en situation de stabilité marginale, c’est-à-dire que pour un point fixe x_0 de f_{\alpha,\epsilon}, on a f'_{\alpha,\epsilon}(x_0) = 1. On en déduit que \Delta_{\epsilon}(0) = \left[0,\frac{\epsilon}{2\pi}\right[.

De même, la détermination de \Delta_{\epsilon}(p/q) pour p/q non nul revient à la résolution en \alpha, par exemple via la méthode de Newton, du système

\left\lbrace \begin{array}{lll} f_{\alpha,\epsilon}^q(x)=x+p \\ f_{\alpha,\epsilon}^{(q)}(x) = 1 \end{array} \right.

En conclusion, pour \epsilon fixé non nul, l’application \rho_{\epsilon} : \alpha \mapsto \rho(f_{\alpha,\epsilon}), croissante et valant 0 en 0 et 1 en 1, est localement constante en toute valeur rationnelle : son graphe est un escalier du diable.

Auteur : Vojta, Thomas

Graphe de \rho_{1}.

Représenté sur le pavé \alpha-\epsilon, l’ensemble \cup_{\epsilon} \Delta_{\epsilon}(p/q) est un empilement d’intervalles éclosant du singleton \lbrace p/q \rbrace, dont la forme rappelle une langue, appelée langue d’Arnol’d de p/q, du nom du découvreur en 1961 de ce phénomène, Vladimir Igorevitch Arnol’d (1937-2010).

CC0 - Ilya Voyageur

Représentation des langues d’Arnol’d pour les rationnels de dénominateur inférieur ou égal à 5.

Puisque \cup_{p/q} \Delta_{\epsilon}(p/q) est de mesure 1 pour tout \epsilon non nul, les langues d’Arnol’d recouvrent le pavé \alpha-\epsilon au sens de Lebesgue ; la langue d’Arnol’d associée à p/q est d’autant plus large que q est petit, ou encore que la position de p/q sur l’arbre de Stern-Brocot restreint à [0,1] est basse. Enfin, lorsque \epsilon>1, les langues d’Arnol’d se chevauchent : f_{\alpha,\epsilon} n’est plus un homéomorphisme, et différentes orbites présentent des nombres de rotation distincts.  Le comportement des f_{\alpha,\epsilon} devient alors chaotique.

Conclusion

L’apparition de langues d’Arnol’d est un phénomène très fréquent dans l’observation de deux oscillateurs couplés (par exemple deux circuits LC) : les deux oscillateurs sont synchronisés lorsque le rapport de leurs fréquences est rationnel. Lorsque le couplage augmente (dans notre exemple, lorsque les bobines sont rapprochées), les plages de stabilité des rapports de fréquences rationnels sont plus larges, et la synchronisation des oscillateurs est donc plus stable. De plus, la stabilité d’un rapport de fréquences donné est d’autant plus grande que sa langue d’Arnol’d est large.

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