Nous nous intéressons ici au groupe \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) des homéomorphismes du cercle préservant l’orientation, canoniquement muni d’une structure de groupe topologique complet par la distance

d(f,g)= \max \left( \|f-g\|_{\infty}, \|f^{-1}-g^{-1}\|_{\infty} \right), \ f,g \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1),

\| \cdot \|_{\infty} désigne la norme infinie, définie par \| \cdot \|_{\infty} = \sup\limits_{x \in \mathbb{S}^1} | \cdot |.

La question que l’on se pose est la suivante : Si l’on se donne deux homéomorphismes arbitraires f,g \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1), typiquement quelles relations peut-on attendre entre f et g ? Bien sûr, ce n’est pas une question formelle, aussi la réponse dépendra-t-elle du point de vue que l’on adoptera.

Un élément de réponse est fourni par le résultat suivant (la notion de groupe libre est définie plus bas) :

Théorème : Les couples (f,g) \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) \times \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) engendrant un sous-groupe libre de rang deux de \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) forment un G_{\delta} dense dans \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) \times \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1).

Une manière de penser ce résultat est de dire que, pour presque tous les homéomorphismes f,g \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1), il n’existe pas de relations non triviales entre f et g. Ici, presque tous a une interprétation topologique (en terme de densité d’un G_{\delta}, ie. d’une intersection dénombrable d’ouverts) et les relations entre les homéomorphismes sont supposées être des relations dans le groupe \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1).

Une construction usuelle du groupe libre de rang deux, noté \mathbb{F}_2, est la suivante :

Donnons-nous deux lettres a et b, et considérons l’ensemble X des mots (de taille finie) écrits sur l’alphabet \{a,b,a^{-1},b^{-1} \}; on dira qu’un tel mot est réduit s’il ne contient pas de sous-mot de la forme aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1} ou b^{-1}b. L’ensemble des mots réduits de X est alors muni d’une structure de groupe une fois muni de la loi de composition suivante : si w_1 et w_2 sont deux mots réduits de X, on définit w_1 \cdot w_2 comme le mot composé de w_1 suivi de w_2, dans lequel toute les expressions du type aa^{-1}, a^{-1}a, bb^{-1} et b^{-1}b ont été enlevées. Le groupe obtenu est le groupe libre de rang deux \mathbb{F}_2.

On dit souvent que \mathbb{F}_2 est un groupe sans relation, car un mot réduit en a et b (non vide) ne correspond jamais à l’élément neutre de \mathbb{F}_2 (le mot vide). Ainsi, le théorème précédent stipule que pour presque tous les homéomorphismes f,g \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1), tous les éléments de la forme

f^{n_1} \circ g^{m_1} \circ \cdots \circ f^{n_{r}} \circ g^{m_r} \circ f^{n_{r+1}},

avec m_i,n_j \neq 0 si 1 \leq i \leq r et 2 \leq j \leq r, et n_1 +n_{r+1} \neq 0 si r=0, sont différents de l’identité.

Preuve du théorème : Rappelons qu’un espace topologique est dit de Baire si toute union dénombrable de fermés d’intérieur vide est elle-même d’intérieur vide, et que le théorème de Baire stipule que tout espace métrique complet est un espace de Baire.

Si pour tout mot réduit w \in \mathbb{F}_2, l’on note X_w l’ensemble des triplets (f,g,x) \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) \times \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) \times \mathbb{S}^1 vérifiant w(f,g)(x) =x, et que l’on montre que chaque X_w est un fermé d’intérieur vide, on pourra en déduire que l’ensemble des couples (f,g) \in \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) \times \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1) vérifiant w(f,g)= \mathrm{Id} est un fermé d’intérieur non vide. En effet, si w(f,g)= \mathrm{Id} et si x \in \mathbb{S}^1, alors (f,g,x) \in X_w. Donc il existe f_0, g_0 et x_0 arbitrairements proches de f, g et x respectivement, tels que (f_0,g_0,x_0) \notin X_w ie. w(f_0,g_0)(x_0) \neq x_0, et en particulier w(f_0,g_0) \neq \mathrm{Id}. Dès lors, d’après le théorème de Baire, l’ensemble

\displaystyle \{ (f,g) \mid \langle f,g \rangle \not\simeq \mathbb{F}_2 \} = \bigcup\limits_{w \in \mathbb{F}_2} \{ (f,g) \mid w(f,g)= \mathrm{Id} \}

sera d’intérieur vide, et donc son complémentaire sera un G_{\delta} (ie. une intersection dénombrable d’ouverts) dense, ce qui conclura la preuve.

Raisonnons par l’absurde et donnons-nous un mot w de longueur k minimale tel que X_w soit d’intérieur non vide. Il existe donc un ouvert non vide U \subset X_w. Pour tous mots w_1,w_2 \in \mathbb{F}_2, notons

F(w_1,w_2)= \{ (f,g,x) \mid w_1(f,g)w_2(f,g)(x)=w_2(f,g)(x) \}

l’image de X_{w_1} par l’homéomorphisme (f,g,x) \mapsto (f,g,w_2(f,g)^{-1}(x)); en particulier, F(w_1,w_2) est un fermé d’intérieur vide si \mathrm{\ell g}(w_1),\mathrm{\ell g}(w_2)<k.

Comme \bigcup\limits_{\mathrm{\ell g}(w_1),\mathrm{\ell g}(w_2)<k} F(w_1,w_2) est lui-même un fermé d’intérieur vide, nous pouvons nous donner un triplet (f,g,x) \in U qui n’appartienne à aucun F(w_1,w_2) pour \mathrm{\ell g}(w_1),\mathrm{\ell g}(w_2)<k.

Notons w(f,g)=h_1 \circ \cdots \circ h_kh_i \in \{ f,f^{-1},g,g^{-1}\} (1 \leq i \leq k) puis

x_1=h_1(x), ~ \dots, ~ x_{k-1}=h_{k-1}(x_{k-2}), ~ x_k=h_k(x_{k-1}).

Remarquons d’abord que x_k=w(f,g)(x)=x puisque (f,g,x) \in X_w, puis que x_i \neq x_j dès que i \neq j. En effet, si ce n’était pas le cas, il existerait un sous-mot w_1(f,g) de w(f,g) de longueur strictement inférieure fixant un x_i, lui-même de la forme w_2(f,g)(x); on aurait alors (f,g,x) \in F(w_1,w_2), ce que nous avons exclu par hypothèse.

Pour conclure, il suffit de se donner deux homéomorphismes \tilde{f} et \tilde{g} approchant f et g respectivement de manière arbitrairement proche, et vérifiant x_1= \tilde{h}_1(x_1), ~ \dots, ~ x_{k-1}= \tilde{h}_{k-1}(x_{k-2}) mais x_k \neq \tilde{h}_k(x_{k-1}). Dès lors, (\tilde{f}, \tilde{g},x) \in U par approximation mais w(\tilde{f},\tilde{g})(x)=\tilde{h}_k(x_{k-1}) \neq x_k=x par construction, une contradiction. \square

Remarque : Il n’a pas été mentionné explicitement où la condition de minimalité sur k a été utilisée, mais cette hypothèse est primordiale, c’est elle qui permet de montrer que les x_i sont deux à deux disjoints (via le fait que les F(w_1,w_2) soient d’intérieur vide pour \ell g(w_1) \ell g(w_2)<k), condition indispensable pour la bonne définition des approximations \tilde{f} et \tilde{g} menant à la contradiction.

D’après le théorème précédent, nous savons en particulier que \mathrm{Homeo}(\mathbb{S}^1) contient de nombreux sous-groupes libres, mais en connaît-on un ? A-t-on un exemple explicite d’une paire d’homéomorphismes engendrant un groupe libre de rang deux ?

Une manière astucieuse de raisonner est de remarquer que \mathbb{S}^1 est homéomorphe à la droite projective réelle \mathbb{R}P^1, qui s’identifie à l’ensemble des droites vectorielles du plan. Dès lors, on peut faire agir naturellement le groupe des matrices inversibles, que l’on connaît bien, sur le cercle, puis mettre en évidence un sous-groupe libre en choisissant soigneusement une paire de matrices et étudier leur action sur le cercle. C’est ce qui a été fait dans le billet précédent Lemme du ping-pong : groupe libre et homéos du cercle.

Nous proposons ici une démarche légèrement différente. Nous allons considérer le cercle \mathbb{S}^1 comme le quotient \mathbb{R}/ \mathbb{Z}, et introduire le groupe des homéomorphismes linéaires par morceaux (préservant l’orientation) :

Soit f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} un homéomorphisme. S’il existe une suite (x_i)_{i \in \mathbb{Z}} de réels vérifiant \lim\limits_{i \to \pm \infty} x_i= \pm \infty, et telle que f soit affine sur chaque intervalle [x_i,x_{i+1}], on dit que f est linéaire par morceaux. Si de plus f(x+1)=f(x)+1 pour tout x \in \mathbb{R}, alors f induit un homéomorphisme de \mathbb{S}^1 par passage au quotient; le groupe de ces homéomorphismes, toujours dits linéaires par morceaux, est noté PL_+(\mathbb{S}^1).

Considérons les deux éléments f et g de PL_+(\mathbb{S}^1) associés aux graphes suivants :

graphs

De manière explicite, nous avons

f(x)= \left\{ \begin{array}{cl} \frac{3}{2}x & \text{if} \ 0 \leq x \leq \frac{1}{3} \\ x+ \frac{1}{6} & \text{if} \ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} & \text{if} \ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \end{array} \right. \ \text{et} \ g(x)= \left\{ \begin{array}{cl} x+ \frac{2}{3} & \text{if} \ 0 \leq x \leq \frac{1}{3} \\ 3x-1 & \text{if} \ \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} & \text{if} \ \frac{2}{3} \leq x \leq 1 \end{array} \right..

Le graphe de leur inverse est donné par les graphes :

inversegraphs

On en déduit aisément que pour tout n \in \mathbb{Z} \backslash \{-1,0,1\},

f^n \left( \left] \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right[ \right) \subset \left] 0,\frac{1}{3} \right[ \cup \left] \frac{2}{3},1 \right[ et g^n \left( \left] 0,\frac{1}{3} \right[ \cup \left] \frac{2}{3},1 \right[ \right) \subset \left] \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right[.

Ainsi, on en déduit que f^2 et g^2 engendrent un sous-groupe libre de rang deux de PL_+(\mathbb{S}^1), et donc de \mathrm{Homeo}^+(\mathbb{S}^1), grâce au lemme du ping-pong :

Lemme du ping-pong : Soit G un groupe agissant sur un ensemble S. Supposons qu’il existe x,y \in G et X,Y \subset S vérifiant :

  • X et Y sont non vides et disjoints,
  • x^n \cdot X \subset Y et y^n \cdot Y \subset X pour tout n \in \mathbb{Z} \backslash \{ 0 \}.

Alors \{x,y\} engendre un groupe libre de rang deux.

Plus d’informations sur ce lemme pourront être trouvées sur la page Wikipedia ou sur le billet mentionné plus haut  Lemme du ping-pong : groupe libre et homéos du cercle.

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