La conjecture d’Erdös-Turan formulée en 1936 affirme que pour toute partie A \subset \mathbb{Z} de densité supérieure strictement positive, c’est à dire telle que

d(A) = \limsup\limits_{N \to \infty} ( \frac{1}{2N+1} \sharp (A \cap \{-N,...,N\}) ) >0

et pour tout entier positif k il existe un entier r>0 et un entier n tel que A contienne tous les entiers

n,n+r,...,n+kr .

c’est à dire que A admet une progression arithmétique arbitrairement longue. Une première preuve fut donnée par E. Szemerédi en 1975 puis une seconde fut publiée en 1977 par H.Furstenberg. Nous nous intéresserons à cette dernière qui a l’avantage de reposer sur un résultat de théorie ergodique que nous admettrons (de nombreuses autres demonstrations ont depuis été données, voir par exemple le blog de T.Tao.

Commençons par quelques définitions:

Soit (X,\beta ,\mu ) un espace mesuré et T: X \rightarrow X. On dit que T préserve la mesure \mu si

\forall B \in \beta, \space \mu(T^{-1}B) = \mu(B)

Le quadruplet (X,\beta,\mu,T) est alors appelé un système dynamique mesuré.

On notera T^{-n}E l’ensemble des points de X qui arrivent dans E au temps n c’est à dire

T^{-n}E = \{x \in X | T^n x \in E \}

Admettrons à présent le théorème suivant:

Théorème: (Furstenberg) Soit k un entier positif, (X,\beta,\mu,T) un système dynamique mesuré avec \mu(X) = 1 et E \subset X une partie de mesure strictement positive. Alors il existe r>0 tel que

E \cap T^{-r}E \cap ... \cap T^{-kr}E

est de mesure strictement positive.

Ce qui signifie que l’ensemble des points de E qui reviennent dans E pour tout temps

nr, n \in \{1,...,k\} est de mesure positive.

On cherche à présent à montrer que le théorème de Furstenberg implique le théorème de Szemerédi. Pour cela, prenons une partie A de \mathbb{Z} de densité supérieure strictement positive et considérons un élément

\epsilon = (\epsilon(n))_{n\in \mathbb{Z}} \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}}\epsilon(n)=1 \Leftrightarrow n\in A.

Munissons \{0,1\}^{\mathbb{Z}} du décalage \sigma: \left\lbrace  \begin{array}{lcl}  \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \longrightarrow \{0,1\}^{\mathbb{Z}}\\  (\epsilon(n))_{n \in \mathbb{Z}}\mapsto (\epsilon(n+1))_{n \in \mathbb{Z}}\\    \end{array}\right.

et notons X= \overline{\{\sigma^n (\epsilon) | n\in \mathbb{Z} \}} l’adhérence de l’orbite de \epsilon pour le décalage.

En posant E=\{ \omega \in X | \omega(0)=1 \} on peut reformuler l’hypothèse du théorème de Szemerédi

d(A) = \limsup \frac{1}{2N+1} \sum\limits_{n=-N}^N \delta_{\sigma^n \epsilon}(E) >0

Or, l’espace M(X) des mesures de probabilité sur X est compact donc, la limite supérieure des mesures

\mu_N(Y)= \frac{1}{2N+1} \sum\limits_{n=-N}^N \delta_{\sigma^n \epsilon}(Y)

existe. De plus, nous pouvons remarquer qu’elle est invariante par le décalage \sigma en  effet:

\mu ( \sigma^{-1}(B)) = \limsup \frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-N}^N \delta_{\sigma^{n}(\epsilon)}(\sigma^{-1}(B)) = \\  \limsup \frac{1}{2N+1} \sum \limits_{n=-N}^N \delta_{\sigma^{n+1}\epsilon}(B) =\\  \limsup \frac{1}{2N+1} \sum \limits_{n=-N-1}^{N+1} \delta_{\sigma^{n+1}\epsilon}(B) = \mu (B)

Enfin, nous voyons que E est de mesure positive

\mu(E) = \limsup \mu_N (E) \\  = \limsup \frac{1}{2N+1} \sum\limits_{n=-N}^N \delta_{\sigma^{n}\epsilon}(E)\\  =d(A) >0

Les hypothèses du théorème de Furstenberg sont donc vérifiées et on peut l’appliquer au système dynamique mesuré (X,Bor,\mu,\sigma):

Il existe r>0 , un entier k et un point

\omega \in E\cap X tel que: \forall j\in\{1,...,r\} , \sigma^{kj}(\omega) \in E \cap X.

 Puisque \omega \in E, le résultat du théorème de Furstenberg se réecrit

\omega(k)=\omega(2k)=...=\omega(kr)=1 .

De même, puisque \omega \in X, \omega est un point limite de l’ensemble des décalages de \epsilon

il existe n \in \mathbb{Z} tel que \omega(0) = \epsilon(n).

Ainsi, en appliquant un décalage au terme de droite et à celui de gauche, on obtient

\omega(k) = \sigma^k(\omega(0)) = \sigma^k(\epsilon(n)) = \epsilon (n+k) 

ce qui nous donne au final

\epsilon (n)=\epsilon (n+k)=...=\epsilon (n+kr)

donc les éléments n, n+k,...,n+kr sont tous dans A et le théorème de Szemerédi est démontré.

Dans ce théorème, l’hypothèse de positivité stricte de la densité est suffisante mais pas nécessaire. En effet, B.Green et T.Tao ont démontré en 2003 que l’ensemble des nombres premiers (dont la densité supérieure est nulle) admet des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

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