En 2013 comme en 2012, le but de ce blog est de permettre aux étudiants du cours de systèmes dynamiques de raconter aux autres étudiants du Mastère des morceaux de maths qui les ont intéressés ou amusés.
Tout étudiant assistant au cours peut écrire un billet ; dans l’idéal chaque étudiant écrirait au moins un billet. Les textes devraient être compréhensibles pour un étudiant de M1 ; il faut essayer de choisir un sujet bien délimité, et de faire court et simple. On peut très bien choisir un sujet déjà traité l’année dernière : un même sujet peut être abordé sous des angles très différents !

La procédure est la suivante : envoyez-moi un mail, en indiquant le sujet choisi, en demandant éventuellement des précisions sur le sujet ; je vous enverrai un mot de passe permettant de d’accéder au site en tant que rédacteur. Je relirai le texte avant de le publier sur le site. Je peux bien sûr vous conseiller si vous avez besoin d’aide dans la rédaction.

Suggestions de billets :

  1. L’odomètre, un système dynamique uniquement ergodique.
  2. Le  théorème de  Van der Warden :
    expliquer la partie facile de la preuve (comment un résultat de récurrence entraine un résultat de théorie de nombres).
  3. Le théorème de Szemeredi : un ensemble d enombres de densité strictement positive contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.
    Expliquer la partie facile de la preuve.
  4. Le contre-exemple de Denjoy.
  5. Exemple d’application linéaire ayant une orbite dense.
  6. Les fractions continues ; conséquences de l’ergodicité de la transformation de Gauss.
  7. Le doublement de l’angle : un exemple de système dynamique « chaotique » qui persiste par petite perturbation.
  8. \cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)+1 vue comme une formule de (semi)-conjugaison.
  9. Statistique des orbites pour l’application x \mapsto x^2+1.
  10.   La conjugaison comme changement de coordonnées.
  11.   La conjugaison dans un groupe d’isométries
  12.  Les rotations irrationnelles comme systèmes dynamiques ergodiques. Expliquer comment on montre, par le point de vue spectral, que deux rotations d’angles différents donnent des systèmes ergodiques non isomorphes.
  13.   Le théorème ergodique de Birkhoff.
  14.  Le décalage.
  15.   Le nombre de rotation des homéomorphismes du cercle.
  16.   Les langues d’Arnold.
  17.   Proportion de 7 dans la suite des premiers chiffres des puissances successives de 2.
  18.   Preuve de l’équirépartition pour une rotation irrationnelle (avec les séries de Fourier, ou le théorème de densité de Lebesgue).
  19.   Le lemme du ping-pong, ou comment construire deux homéomorphismes engendrant un groupe libre.
  20. etc.
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