You are currently browsing cosinusoide’s articles.

Introduction:

Le théorème dont on parlera dans cet article est un résultat concernant la théorie de nombre. On se pose la question suivante: donné un ensemble A d’entiers qu’est qu’on peut dire sur l’existence d’une progression arithmétique arbitrairement longue contenue dans A ?

La question peut être formulée de la manière suivante:

Pour tout k \in A existent-t-ils des entiers m,n \in \mathbb{Z} tels que m, m+n, m+2n, \dots, m+kn \in A ?

Ce problème a été explore par différents points de vues et on peut aussi l’approcher avec des résultats liés aux systèmes dynamiques (notamment dans cette exposition on utilisera le Théorème de Furstenberg). C’est une autre démonstration du fait que les résultats de la théorie des systèmes dynamiques peuvent être appliqués et utilisés des plusieurs façons et donner des résultats remarquable dans des endroits de math a priori plutôt loin du but initial pour lequel la théorie avait été developpée.

Peut être interessant de reporter une petite histoire des résultats concernants ce sujet.

Théorème[van der Waerden, 1927]

Si les ensembles A_1,\dots,A_l forment une partition de \mathbb{N}, alors l’un des ensembles A_i contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

(Ce résultat aussi peut être démontré en utilisant le Théorème de Furstenberg).

En introduisant la notion de densité supérieure
d(A):=\limsup_{N\to \infty}\left( \frac{1}{2N+1}\cdot Card(A\cap \left\{ -N,\dots,N\right\}) \right) > 0
pour A partie de \mathbb{N}, on peut généraliser ce résultat (en notant que l’hypothèse de van der Waerden s’écrit \sum d(A_i) > 0) avec le

Théorème[Szemeredi, 1975]

Si d(A)>0 alors A contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

Les plus récent des résultat sur ce sujet est du à Green et Tao:

Théorème[Green – Tao, 2004]

L’ensemble des nombres premieres contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

Finalement, on peut enoncer une conjecture lié à ce sujet, où on a une hypothèse encore plus faible sur l’ensemble A:

Conjecture[Erdös]

Si \sum_{n\in A-\left\{0\right\}} \frac{1}{n}=\infty alors A contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues.

La preuve du Théorème:

Le but de cet article est de prouver le Théorème de Szemeredi à partir de Théorème de Furstenberg.

On commence en reportant les énonces des deux théorèmes.

Théorème[Furstenberg]

Soit k un entier positif, (X, \chi, \mu, F) un système dynamique mesuré avec \mu(X)=1, et E\subset X une partie de mesure strictement positive. Alors il existe r > 0 tel que

\mu(E\cap F^{-r} E \cap \dots \cap F^{-kr} E) >0.

Théorème[Szemeredi]

Soit A contenue dans \mathbb{Z} une partie de densité supérieure strictement positive, c’est-à-dire telle que

\limsup_{N\to \infty}\left( \frac{1}{2N+1}\cdot Card(A\cap \left\{ -N,\dots,N\right\}) \right) > 0.

Alors pour tout k \in \mathbb{N} il existe r>0 et un entier n tel que A contient tous les entiers

n, \; n+r, \dots, \; n+kr.

Preuve(Szemeredi): L’idée est de montrer que le premier resultat implique le deuxième. On considère une partie A\subset \mathbb{Z} qui vérifie les hypothèses de Szemeredi. Soit T l’application de traslation définie par T: \mathcal{P}(\mathbb{Z})\rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{Z}) (où \mathcal{P}(\mathbb{Z}) est l’ensemble des parties de \mathbb{Z}) avec T(E)=\left\{ n \in \mathbb{Z} \mbox{ tel que } n-1 \in E \right\}. On peut alors considérer  l’ensemble X des parties B de \mathbb{Z} telles que

Pour tout N > 0 existe n \in \mathbb{Z} tel que B\cap\left\{ -N,\dots ,N \right\} = T^{n}A\cap\left\{ -N,\dots ,N \right\}.

On a une bijection naturelle \phi : X \rightarrow \left\{0,1\right\}^{\mathbb{Z}} définie par

\phi(B):= (\epsilon_{n})_{n\in\mathbb{Z}} \; avec \; \begin{cases} \epsilon_{n} = 0 & \mbox{ si } n\notin B\; , \\ \epsilon_{n} = 1 & \mbox{ si } n\in B\; . \end{cases}

Soit alors a:=\phi(A) (donc a: \mathbb{Z}\rightarrow \left\{ 0,1\right\}).

On veut montrer que \phi (X) est l’adhérence de l’orbite de a=\phi (A) pour le décalage \sigma. On commence en observant que \phi est une semiconjugaison entre \sigma et T: B \rightarrow \left\{ 0,1 \right\} . En effet on a que si E\in B alors

\phi(T(E))=\phi(\left\{ E+1 \right\}) = (\epsilon_n)_{n\in \mathbb{Z}} ( où \left\{ E+1 \right\}:= \left\{ m\in \mathbb{Z} |\; m-1 \in E \right\}) avec

\; \begin{cases} \epsilon_{n} = 0 & \mbox{ si } n\notin \left\{ E+1\right\} \; \\ \epsilon_{n} = 1 & \mbox{ si } n\in \left\{ E+1\right\} \; \end{cases} = \begin{cases} \epsilon_{n} = 0 & \mbox{ si } n-1\notin E\; \\ \epsilon_{n} = 1 & \mbox{ si } n-1\in E \; \end{cases},

et en même temps on a que \sigma(\phi(A)) = \sigma((\epsilon_n)_{n\in \mathbb{Z}})=(\sigma(\epsilon)_n) _{n\in\mathbb{N}}

\; \begin{cases} \sigma(\epsilon)_{n} = 0 & \mbox{ si } n-1\notin E \; \\ \sigma(\epsilon)_{n} = 1 & \mbox{ si } n-1\in E \; \end{cases} .

On observe évidemment que \sigma^{n}\phi(E)=\phi (T^n (E)). On peut alors écrire que

\phi(X)=\phi(\left\{ B\subset \mathbb{Z} \; | \; \forall N>0 \; \exists n \in \mathbb{Z}, B\cap\left\{-N,\dots ,N \right\}= T^n (A)\cap \left\{-N,\dots ,N \right\} \right\}) =

= \left\{ b\in \left\{ 0,1\right\}^{\mathbb{Z}} \; | \; \forall N > 0 \; \exists \; n \; pour \; lequel \; b_k =(\sigma^n a)_k, \; k \in \left\{-N,\dots, N\right\}\right\}=

= \overline{\left\{ \sigma^n a\right\}}=\overline{O_{\sigma}(a)}

c’est-à-dire l’adhérence de l’orbite de a par le décalage \sigma.

On définit maintenant, pour tout entier positif N la mesure borélienne \mu_N sur \phi(X) définie par

\mu_N:= \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} \delta_{\sigma^n a}

a=\phi(A) et \delta_x désigne la masse de Dirac au point x. On appelle E l’ensemble des éléments (\epsilon_i)_{i\in \mathbb{Z}}\in \phi(X) vérifiant \epsilon_0=1.

On observe que l’hypothèse du Théorème de Szemeredi peut être re-écrite de la manière suivante grâce à la définition précédente:

\limsup_{N\to \infty}\left( \frac{1}{2N+1}\cdot Card(A\cap \left\{ -N,\dots,N\right\}) \right) > 0\;\Leftrightarrow

\limsup_{N\to \infty} \mu_N(E) >0.

(Cette observation suit simplement de l’application de les définitions).

Si on considère maintenant la suite de mesures (\mu_N)_{N\in \mathbb{N}}\in \mathcal{M}_{\sigma}(\phi(X)), on a que par compacité de \overline{O_{\sigma}(a)}\subset \left\{ 0,1 \right\}^{\mathbb{Z}} (car il est un fermé dans un compacte), cette suite doit admettre une sous-suite convergente vers un élément qu’on notera \mu\in \mathcal{M}_{\sigma}(\phi(X)). Cette mesure \mu est une mesure de probabilité par construction.

On veut maintenant montrer qu’elle est invariante par le décalage, c’est-à-dire que \forall \; B \subset \phi(X) \mu(\sigma^{-1} B)=\mu(B). Soit \mu_{\psi(N)}\subset \mu_{N} la sous-suite extraite. On a alors que:

\mu(\sigma^{-1}B) = \lim_{\psi(N)\to\infty} \frac{1}{2\psi(N)+1}\sum_{n=-\psi(N)}^{\psi(N)} \delta_{\sigma^n a}(\sigma^{-1}B)

=\lim_{\psi(N)\to\infty} \frac{1}{2\psi(N)+1}\sum_{n=-\psi(N)}^{\psi(N)} \delta_{\sigma^{n+1} a}(B)=

\lim_{\psi(N)\to\infty} \frac{1}{2\psi(N)+1}\sum_{n=-\psi(N)+1}^{\psi(N)+1} \delta_{\sigma^n a}(B)=\mu(B).

On veut en plus montrer que \mu(E)>0. Nous avons comme hypothèse que

\lim_{k\to\infty} \sup_{N\ge k} \mu_N(E) >0\Leftrightarrow \lim_{k\to\infty} v_k=l > 0

si on a définit v_k:=\sup_{N\ge k} \mu_N(E). On en deduit que aussi \lim_{k\to\infty} v_{\phi(k)}=l > 0, donc on a forcement que v_{\phi(n)}:=\sup_{k\ge \phi(n)} u_k \ge \sup_{k\ge n} u_{\phi(k)}.

Finalement on observe qu’on peut appliquer le Théorème de Furstenberg, car la mesure \mu (dans le système (\phi(X),\mu,\sigma)) est de probabilité sur \phi(X) et on a aussi \mu(E) > 0. La thèse est alors qu’il existe un r>0 tel que \mu(E\cap\sigma^{-r}E\cap\dots\cap \sigma^{-kr}E)>0, mais cette affirmation est exactement équivalente à la thèse du Théorème de Szemeredi, grâce à la définition de E:=\left\{ (\epsilon_i)_{i\in \mathbb{Z}}\in \phi(X) \; | \;\epsilon_0=1\right\}: en effet l’ensemble E\cap\sigma^{-r}E\cap\dots\cap \sigma^{-kr}E est composé par les suites avec les composants \epsilon_0=\epsilon_r=\epsilon_{2r}=\dots=\epsilon_{kr}=1, et on a que la mesure de cet ensemble est strictement positive. On se rappelle alors de la définition donnée pour la mesure \mu, qui dépende de l’ensemble A (est la limite de \mu_n). En étant \mu(E) positive il faut que dans A il y aient les éléments de la progression arithmétique recherchée et on peut conclure la preuve.