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En 1706 Lemuel Gulliver avait visité l’île fluctuante de Laputa, une terre extraordinaire, habitée par les astronomes et les mathématiciens, une terre où la science et les mathématiques étaient enracinées au point que même la nourriture était modélisée géométriquement: triangles équilatéraux de mouton, losanges de boeuf, tartes en forme de cycloïde sont seulement des exemples. Mais la géométrie du XVIIIème siècle était euclidienne, donc très pauvre et par conséquent aussi la cuisine laputienne l’était. En raison de l’isolement de Laputa, cette situation perdura jusqu’à il y a quelques années, quand un groupe de chercheurs décida de retourner à l’île, après plus de trois siècles, pour informer les habitants de la découverte de la géométrie fractale. Lors de leur arrivée, les chercheurs furent accueillis solennellement et une conférence, à laquelle toute la population de Laputa participa, fut immédiatement organisée. Voici le témoignage de l’événement.
« On commence par une famille de systémes dynamiques complexes, » dit un jeune mathématicien « donnée par

f_c(z) := z^2 + c

c \in \mathbb{C} et z est une variable complexe. Nous allons étudier le comportement des orbites de cette famille, en particulier des orbites positives, qui sont définies de la façon suivante

O^+_c(z_0) := \{f_c^n(z_0) \,|\, n \in \mathbb{N} \}

Mais pourquoi on a choisi cette famille? On remarque, tout d’abord, que \{f_c\}_{c \in \mathbb{C}} est suffisamment générale, car tout polynôme quadratique est conjugué à un unique polynôme f_c par une application h(z) = az+b avec a,b \in \mathbb{C} appropriés. Donc, ce n’est pas restrictif de considérer seulement la famille à un paramétre \{f_c\}_{c \in \mathbb{C}}. Ensuite, il sera très utile de considérer la projection stéréographique: grâce à elle, on pourra projeter le plan complexe sur la sphère \mathbb{S}^2 et on pourra penser au pôle nord N comme à un point à l’infini. De cette façon, on pourra regarder \mathbb{S}^2 comme \mathbb{C} \cup \{\infty\}, qui est aussi appelé sphère de Riemann, et l’action de f_c sur \mathbb{C} sera transformée dans une nouvelle action \tilde{f_c} sur \mathbb{S}^2, c’est à dire les orbites positives de f_c seront envoyées sur des orbites positives de \tilde{f_c} de la manière suivante: si z \in \mathbb{C} et Z = \pi^{-1}(z), alors Z \neq \infty sûrement et

\tilde{f_c}(Z) := \pi^{-1} ( f_c ( \pi(Z)))

\pi : \mathbb{S}^2 \setminus \{\infty\} \to \mathbb{C} est la projection canonique. Afin d’étudier le comportement de f_c près de \infty, il faut introduire l’application r(z) := 1/z, qui change 0 et \infty, et consid\’erer

F_c := r \circ f_c \circ r

Dans le langage des systémes dynamiques, on a évidemment une conjugaison entre f_c et F_c. Un calcul très facile nous donne que

F_c(z) = \frac{z^2}{1+cz^2}

et comme pour tout c \in \mathbb{C}, F_c(0) = 0 et F_c'(0) = 0, alors 0 est un point fixe attractif pour F_c ou, de façon équivalente, \infty est un point fixe attractif pour f_c. La définition est très simple, puisque on dit que z est un point fixe attractif pour une certaine application R si et seulement si R(z)=z et |R'(z)| < 1, mais au-delà de la définition on peut noter que l’attractivité est une notion très intuitive. En effet, l’attractivité de \infty pour f_c entraîne que les points près de \infty engendrent des orbites positives sous f_c qui échappent de chaque compact et s’approchent de \infty. En conséquence, on peut définir le bassin d’attraction de \infty comme

A_c(\infty) := \{ z_0 \in \mathbb{C} \,:\, f_c^k(z_0) \to \infty \textrm{ pour } k \to \infty\}

Évidemment, l’ensemble A_c(\infty) depend du choix de c. De plus, on remarque que cet ensemble ne peut jamais être égal à \mathbb{C}, car il y a toujours des points, dont les orbites sont bornées; en fait, f_c a toujours deux points fixes, donnés par les solutions de l’équation z^2 + c = z. Donc la frontière \partial A_c(\infty) est non vide et elle est appelée l’ensemble de Julia de f_c, notée aussi par J_c. On remarque que cet ensemble sépare les points, dont les orbites s’approchent de \infty, des points avec orbites bornées. En utilisant un langage dynamique, l’ensemble de Julia J_c est donné par l’adhérence des points périodiques répulsifs pour f_c. Afin de comprendre cet énoncé, soit z_0 un point périodique pour f_c de période k et on pose

\rho := (f_c^k)'(z_0) = \prod_{j=0}^{k-1}f_c'(f_c^j(z_0))

qui est appelé valeur propre de l’orbite de z_0. Par rapport à cette valeur, on dira que l’orbite de z_0 est attractive si |\rho| < 1, en généralisant la définition précédente de point fixe attractif, et qu’elle est répulsive si |\rho| > 1. En outre, après A_c(\infty) et J_c il y a un troisième ensemble: l’ensemble de Julia rempli, défini par

K_c := \mathbb{C} \setminus A_c(\infty)

et donné par les points dont les orbites positives sont bornées.
« Pouvez-vous nous donner des exemples d’ensembles de Julia, s’il vous plaît? » demanda un laputien.
« Bien sûr! » répondit le mathématicien. « Par exemple, si c=0 on a J_c = \{ z \,:\, |z|=1 \}, c’est à dire le cercle de rayon 1, alors que si c=-2, J_c = \{ z \,:\, \Re(z) \in [-2,2],\,\Im(z)=0 \}, i.e. un intervalle. Mais vous pouvez aussi observer les dessins suivants, qui sont beaucoup plus compliqués et montrent des ensembles de Julia remplis: ce sont de vrais fractals! Et on remarque qu’ils sont tous obtenus de la même famille de systémes dynamiques f_c, mais en choisissant différentes valeurs pour le paramètre c.

1

c = i

2

c = -0.74543 + 0.11301i

3

c = 0.27334 + 0.00742i

4

c = -0.194 + 0.6557i

5

c = -1.25

6

c = -0.11 + 0.6557i

7

c = -0.39054 – 0.58679i

8

c = -0.15652 – 1.03225i

Admirez! Ces images sont merveilleuses, parce que à des petites perturbations de c correspondent des résultats complétement différents: c’est extraordinaire! Et les valeurs exactes du paramètre c sont témoignages d’une incroyable richesse de formes. »
Tout le monde était enchanté par la beauté de ces formes.

« Le deuxième ensemble que je vous propose, » continua le mathématicien « c’est l’ensemble de Mandelbrot, découvert par Benoît Mandelbrot en 1980. Afin de comprendre l’objet le plus fascinant des mathématiques, l’objet qui donnera ordre à l’infinité chaotique des ensembles de Julia, il faut donner une caractérisation très utile: l’ensemble de Julia rempli K_c est connexe ou, sinon, un ensemble de Cantor, c’est à dire un ensemble totalement discontinu et sans point isolé. En effet, il y a un résultat plus général, dû à Fatou et Julia, qui est le suivant: soit \Omega_P l’ensemble des points critiques d’un polynôme P; alors:

  • \Omega_P \subset K_P  \Leftrightarrow  J_P est connexe;
  • \Omega_P \cap K_P = \emptyset  \Rightarrow  J_P est un ensemble de Cantor.

Dans le cas de la famille \{f_c\}_{c \in \mathbb{C}}, il y a seulement un point critique, d’où on peut déduire facilement l’énoncé précédent. Qu’est-ce que il signifie critique? Vous avez raison, j’ai oublié de le dire, mais ce n’est pas une notion difficile. Un point \omega est dit critique pour une application différentiable F si F'(\omega)=0; l’image de \omega via F, c’est à dire F(\omega), est dite valeur critique. Dans la situation précédente, 0 est l’unique point critique de f_c et c est l’unique valeur critique. Avec cette définition, on peut affirmer aussi que le comportement dynamique est dominé par le comportement des points critiques; ceci est vrai en particulier pour f_c, mais de façon plus générale aussi pour tous les polynômes et les fonctions rationnelles (quotients de polynômes). Plus tard, on va commenter cette affirmation.

9

Ensemble de Mandelbrot

Maintenant, on peut définir l’ensemble de Mandelbrot de la façon suivante

M := \{ c \in \mathbb{C} \,:\, K_c \textrm{ est connexe}\}

Après avoir introduit les nouvelles découvertes des mathématiques, on va voir leurs proprietés dynamiques, parce que les fractals ne sont pas seulement une manière extravagante de faire géométrie, mais encore leurs applications à la théorie du chaos et aux systèmes dynamiques sont nombreuses. »
Les mathématiciens de Laputa attendaient impatiemment la reprise de la conférence par leur collégue.
« Tout d’abord, » dit-il « nous avons déjà remarqué que l’ensemble de Julia J_c est toujours non vide pour tout c \in \mathbb{C}. Ensuite, il est aussi positivement invariant et fermé, donc on peut considérer le sous-système (J_c,f_c|_{J_c}); et qu’est-ce qu’on peut dire de lui? Le fait le plus important est le comportement de f_c sur J_c, qui est chaotique: ceci signifie que f_c dépend sensiblement des conditions initiales (c’est à dire deux points très proches peuvent engendrer deux orbites complétement différents), elle est topologiquement transitive (i.e. pour toutes parties ouvertes non vides U et V de J_c, il existe n \geq 0 tel que U \cap f_c^{-n}(V) \neq \emptyset) et les points périodiques sont denses en J_c. Cependant, le sous-système n’est pas forcément minimal, parce que on peut avoir des orbites périodiques. En outre, J_c est aussi borné et donc compact.
« En ce qui concerne les propriétés de l’ensemble de Mandelbrot? » interrogea un laputien.
« L’ensemble de Mandelbrot » continua le mathématicien « `contient des informations dynamiques très intéressantes, comme l’ensemble de Julia. En fait, on a déjà dit que J_c, si non connexe, est un ensemble de Cantor, mais, de façon équivalente, cette dichotomie peut être énoncé comme suit: l’orbite du point critique 0 est borné sous l’action de f_c dans le premier cas ou non borné dans le deuxième. De cette manière, le plan des paramètres est divisé en deux régions qui correspondent à comportements dynamiques qualitativement différents: l’ensemble de Mandelbrot, donné par les points c \in \mathbb{C} tels que l’orbite de 0 sous f_c est bornée, et son complémentaire. En résumant, on peut travailler sur deux plans différents: le plan dynamique et le plan des paramètres. En fixant c \in \mathbb{C}, on détermine un plan dynamique particulier, qui est séparé en deux régions par l’ensemble de Julia lui associé; on rappelle que cet ensemble est obtenu à travers l’étude des orbites sous f_c de tous les points z \in \mathbb{C}. En fixant plutôt le point z_0 = 0, c’est à dire l’unique point critique de tout polynôme quadratique f_c, le plan des paramètres est divisé en deux régions par l’ensemble de Mandelbrot. »
Les Laputiens étaient très étonnés: en un seul jour les mathématiques avaient fait un grand saut en avant.

« Comme dernière remarque, voici un programme pour dessiner une approximation de l’ensemble de Mandelbrot sur l’ordinateur que nous vous donnerons.

  • Choisissez un entier positif N, le nombre maximal d’itérations que l’ordinateur fera et aussi le nombre de couleurs dont vous aurez besoin.
  • Choisissez un nombre réel R \geq 2.
  • Si |f_c^n(0)| \leq R pour tout n \leq N, alors colorez c en noir.
  • Sinon, colorez c avec la couleur n, où n est le nombre le plus petit tel que |f_c^n(0)| > R. »

Ensuite, les autres mathématiciens continuèrent la conférence, en exposant des résultats plus détaillés et spécifiques, mais pour les Laputiens cette introduction-là était plus que suffisante, car elle leurs fournissait une variété infinie de nouveaux plats. Le temps de la cuisine euclidienne était terminé.