Le problème de la proportion de 7 dans la suite des premiers chiffres des puissances de 2 est fondamentalement lié à l’équirépartition des orbites pour les rotations irrationnelles du cercle. Même si au premier abord les deux problèmes peuvent sembler sans lien, un peu d’algèbre fera immédiatement apparaître la relation entre les deux.

Pour se faire une première idée de la proportion, nous ferons quelques calculs explicites de la densité de 7 comme première chiffre de 2^n pour des valeurs distinctes de n.^{*}

Dans ce cas, la densité est définie par

\delta_{n} = \frac{1}{n} \sharp \{j : (\textmd{premier chiffre de } 2^{j})=7, 1 \leq j \leq n\}

Alors, l’étude de la distribution est réduite à l’étude de la limite

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty } \delta_{n}}.

SD
En conséquence, il existerait une infinité de puissances de 2 dont le premier chiffre est un 7.

Soit \{a_{n}\} la suite de nombres entiers telle que a_{n}:= premier chiffre de 2^{n}.

Nous savons que 2^{n}=a_{n}10^{m}+r_{n}, où m,r sont entiers qui dépendent de n, a_{n} \in \{1,2,...,9\} et r_{n}<10^{m}.

Avec cette notation, on a

10^{m} \leq 2^{n} < 10^{m+1} \ \ \textmd{ donc } \ \ m \leq n\log_{10}(2) < m+1.

On notera n\log_{10}(2)=m+b_{n}, où

b_{n}= n\log_{10}(2) - \lfloor n\log_{10}(2) \rfloor = \{n\log_{10}(2)\}

est la partie décimale de n\log_{10}(2). Notons alors que

n\log_{10}(2)=m+b_{n} \Leftrightarrow 2^{n}10^{-m}=10^{b_{n}}.

D’un autre côté, on a

a_{n} \leq 2^{n}10^{-m} = a_{n}+r_{n}10^{-m},

et comme r_{n}<10^{m}, on a

a_{n}=\lfloor 2^{n}10^{-m}\rfloor=\lfloor 10^{b_{n}}\rfloor.

Alors,

a_{n} = k \Leftrightarrow \lfloor 10^{b_{n}}\rfloor=k \Leftrightarrow k \leq 10^{b_{n}} < k+1 \Leftrightarrow \log_{10}(k) \leq b_{n}<\log_{10}(k+1)

Donc a_{n} = k si et seulement si n\log_{10}(2) \in [\log_{10}(k),\log_{10}(k+1)[. Ainsi, pour résoudre le problème, nous devons nous concentrer sur la densité des éléments de la forme n\log_{10}(2) dans l’intervalle

I_{k}:=[\log_{10}(k),\log_{10}(k+1)[.


Théorème (Équirépartition)
Soit \alpha un nombre irrationnel. Alors, la suite \{n \alpha\} ( mod 1) est équi-distribuée dans l’intervalle [0,1[. C’est-à-dire, pour tout invervalle I \subset [0,1[, on a

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sharp \{j : j\alpha \in I, 1 \leq j \leq n\}=\mid I \mid }


Remarque: Nous pouvons penser le résultat précédent du point de vue ergodique. Si nous considérons le système dynamique R_{\alpha} donné par la rotation du cercle d’angle irrationel, la densité de l’orbite positive de chaque point et l’ergodicité nous livrent l’equidistribution de l’orbite positive de 0 sur le cercle. En effet, l’orbite positive de 0, est donnée par

\mathcal{O}^{+}(0)=\{n \alpha : n \in \mathbb{N}^{*} \}

Puisque \log_{10}(2) est irrationel, nous pouvons montrer grâce au théorème que

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sharp \{j : a_{j}=k, 1 \leq j \leq n\} } =\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sharp \{j : j \log_{10}(2) \in I_{k}, 1 \leq j \leq n\} } =\mid I_{k}\mid =\log_{10}(k+1)-\log_{10}(k) =\log_{10}(1+\frac{1}{k})

En particulier, la proportion de 7 dans la suite des premiers chiffres des puissances successives de 2 est

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty } \delta_{n}}=\log_{10}(1+\frac{1}{7}) \approx 0.05799.

C’est-à-dire, 7 est le premier chiffres des puissances successives de 2 le 5.8 \% du temps, ce qui confirme les calculs de l’ordinateur.

^{*} Le code (JAVA) est fait conformément à la théorie exposée dans la solution.